5. Нелинейная аппроксимация.

Линейная, особенно линейная полиномиальная, аппроксимация часто не соответствует характеру функции. Например, многочлен высокой степени быстро растет при поэтому даже несложную функцию многочлен плохо аппроксимирует на большом отрезке. Поскольку аппроксимация проводится в широком интервале изменения аргумента, использование нелинейной зависимости от коэффициентов здесь ещё выгодней, чем при интерполяции.

На практике используют два вида зависимости. Один — квазилинейная зависимость, сводящаяся выравнивающей заменой переменных к линейной, которая подробно изучена в предыдущих пунктах. Этот способ очень эффективен и часто используется при обработке эксперимента, ибо априорные сведения о физике процесса помогают найти хорошую замену переменных. Надо только иметь в виду, что приближение, наилучшее в новых переменных, не будет наилучшим в смысле скалярного произведения в старых переменных. Поэтому на выбор веса в новых переменных надо обращать особое внимание.

Классический пример — задача о радиоактивном распаде облученного образца, в которой удобны переменные и t, где — скорость распада. В этих переменных кривая обычно аппроксимируется ломаной, звенья которой соответствуют распаду все более долгоживущих членов радиоактивного ряда.

Другой употребительный вид зависимости от коэффициентов — дробно-линейная, когда аппроксимирующая функция рациональна:

Нередко используется и отношение обобщенных многочленов. Такая аппроксимация позволяет передать полюсы функции — им соответствуют нули знаменателя требуемой кратности. Зачастую можно воспроизвести асимптотическое поведение при за счет соответствующего выбора величины например, если , то надо положить . При этом сами можно брать достаточно большими, чтобы располагать многими коэффициентами аппроксимации.

Однако квадрат погрешности уже не будет квадратичной функцией коэффициентов, так что найти коэффициенты рациональной функции нелегко. Можно по аналогии со среднеквадратичной аппроксимацией многочленами выдвинуть гипотезу, что погрешность имеет на число нулей, не меньшее числа свободных коэффициентов (сравните с замечанием 3 в п. 2). Тогда задача сводится к лагранжевой интерполяции по этим нулям и коэффициенты находятся из системы линейных уравнений:

(47)

Разумеется, точное положение нулей неизвестно; их выбирают произвольно, обычно равномерно распределяя на отрезке . Этот способ называют методом выбранных точек. Полученное этим методом приближение вовсе не будет наилучшим.

Кроме того, метод выбранных точек неразумен, как и всякая интерполяция, если имеют заметную погрешность.

Наилучшее приближение можно найти методом итерированного веса. Заметим, что задача

легко решается: стоящее слева выражение есть квадратичная функция коэффициентов и дифференцирование по ним приводит к линейной системе для определения коэффициентов, сходной с (38). Новая задача отличается от исходной по существу тем, что вместо веса используется другой вес поэтому ее решение не является наилучшим приближением. Запишем исходную задачу в новой форме:

и будем решать ее простым итерационным процессом

за нулевое приближение можно взять . На каждой итерации вес известен по предыдущей итерации, поэтому коэффициенты легко находятся из условия минимума квадратичной формы. Практика показывает, что коэффициенты наилучшего приближения слабо зависят от выбора веса, поэтому обычно итерации сходятся быстро.

а) Рассмотрим некоторые примеры аппроксимации рациональной функцией. Положим

заменяя два первых члена ряда дробью, получим . Эта несложная формула обеспечивает точность при и очень удобна для оценок.

б) В теории вероятностей важную роль играет интеграл ошибок для которого известны разложения в ряды:

Первый ряд абсолютно сходится, но при сходимость очень медленная; второй ряд сходится асимптотически при больших значениях . Заменяя первые члены каждого ряда дробями, получим

В указанных диапазонах изменения аргумента погрешность первой формулы не превышает 0,4%, а погрешность второй формулы —2,4%. Таким образом, точность этих аппроксимаций вполне достаточна для многих 1 практических приложений.

в) Положим при . Эта функция монотонна, причем при Легко построить дробь

удовлетворяющую тем же условиям. Она дает грубую аппроксимацию арктангенса; локальная погрешность в точке составляет 30%. Несложное видоизменение этой формулы

дает вчетверо лучшую точность.

г) Тангенс в первой четверти можно грубо аппроксимировать формулой

передающей поведение вблизи нуля и наличие полюса при .

д) В задачах рассеяния часто встречается одна из специальных функций — интегральная экспонента:

Ряд, в который она разлагается, сходится при любых положительных значениях аргумента. Но только при сходимость достаточно быстрая, и ряд пригоден для вычисления функции. Если учесть асимптотику при , то рациональную аппроксимацию при целесообразно искать в следующем виде:

где не полиномиальная часть асимптотики выделена отдельным множителем. Оказывается, уже , т. е. шесть свободных коэффициентов обеспечивают точность

Отметим, что рациональными функциями при небольшом числе коэффициентов можно удовлетворительно аппроксимировать функции с разрывами производной вроде , которые плохо поддаются аппроксимации другими способами.