8. Формулы Маркова.

Потребуем, чтобы квадратурная формула (3) была точна для многочлена как можно более высокой степени при дополнительном условии, что одна или обе границы также являются узлами интегрирования. Очевидно, если число узлов равно и одна из границ — узел, то формула может быть точна для многочлена степени если обе границы являются узлами — то для многочлена степени

Соответствующие формулы называют формулами Маркова. Они рассчитаны на гладкие функции и по точности мало уступают формулам Гаусса — Кристоффеля (для той же точности в формулах Маркова надо брать на один узел больше).

Общие формулы разбирать не будем. Приведем только таблицу 12 узлов и весов для случая, когда оба конца отрезка являются узлами, а весовая функция для простоты положим ибо преобразовать узлы и веса для произвольного отрезка можно по формулам (31). Отметим, что в этом случае формула Маркова при совпадает с формулой трапеций, а при с формулой Симпсона.

Таблица 12

Замечание 1. Формулы Маркова и формулы Гаусса—Кристоффеля рассчитаны на получение очень высокой точности уже при небольшом числе узлов Поэтому для них не строят обобщенных формул типа (7); исключениями являются только перечисленные выше формулы средних, Трапеций и Симпсона.

Замечание 2. В математической литературе подробно разбираются так называемые квадратурные формулы Чебышева.

Это формулы типа (3), в которых все веса одинаковы и равны , а положение узлов подбирается так, чтобы формула была точна для многочлена как можно более высокой степени. Однако серьезного практического значения эти формулы не имеют. Для функций высокой гладкости удобнее формулы Гаусса, а для недостаточно гладких функций — обобщенные формулы трапеций и средних.