8. Неявные схемы.

Предыдущие методы были явными, т. е. значение определялось за заранее известное число действий. Пример неявной схемы получим, если запишем дифференциальное уравнение в интегральной форме (29), а интеграл по одному интервалу сетки приближенно вычислим по формуле трапеций

Решая это алгебраическое уравнение, можно определить , которое и будет приближенным значением искомого решения и Схема (32) имеет второй порядок точности, допускает счет неравномерным шагом, не требует специальных приемов для начала счета.

Но у этой схемы есть серьезные недостатки. Во-первых, неизвестно, имеет ли уравнение (32) вещественный корень, т. е. разрешима ли задача. Можно привести пример, когда при большом шаге корня нет. Пусть тогда на первом шаге и при вещественного корня нет.

Во-вторых, даже если корень есть, то как его найти? Метод Ньютона применять нежелательно, так как для этого надо дифференцировать . Метод деления пополам не обобщается на системы уравнений. Остается метод последовательных приближений

Однако он сходится к корню, только если , т. е. при достаточно малом шаге. Если в ходе расчета возрастает, то итерации (33) могут перестать сходиться.

От последней трудности можно избавиться, заодно уменьшив объем вычислений.

Для этого ограничим заранее число итераций и рассмотрим (33) как самостоятельную явную схему. Очевидно, вопроса о существовании корня при этом не возникает; всегда определяется, даже если алгебраическое уравнение (32) вещественного корня не имеет.

Роль числа итераций хорошо видна на примере уравнения Естественное нулевое приближение есть так что первая и вторая итерации

являются соответственно схемой ломаных (15) первого порядка точности и схемой Рунге—Кутта второго порядка точности (23) типа «предиктор — корректор». Дальнейшие итерации уже не увеличат порядка точности, так как он не может быть выше, чем в исходной схеме (32); они влияют только на коэффициенты в остаточном члене и увеличивают время счета.

Таким образом, неявные схемы с заданным числом итераций мало отличаются от схем Рунге — Кутта и бывают удобны лишь для некоторых нестандартных задач. Но они приводят к интересной идее ограничения числа итераций.

Есть эмпирическое правило, в общем случае не обоснованное. Пусть для решения дифференциального уравнения написана неявная схема порядка точности. Разрешим ее методом последовательных приближений аналогично (33) и зададим число итераций. Тогда при одной итерации получим схему первого порядка точности, при двух — второго и так далее, при итерациях — порядка точности. Дальнейшее увеличение числа итераций уже не увеличивает порядок точности.

Это правило оказывается полезным даже для уравнений в частных производных. По существу схема с заданным числом итераций есть новая явная схема. Поэтому здесь не возникает вопроса о существовании корня или сходимости итераций, подобных (33).