Научная библиотека

4. Итерационные методы.

В случае сложных задач неэволюционные разностные схемы f решают итерационными методами. Простейшим из них является метод Якоби (5.51), относящийся к методам последовательного приближения. Для двумерного уравнения (46) он имеет вид

где k — номер итерации. Это выражение можно формально переписать следующим образом:

Большинство итерационных методов можно символически записать в аналогичной форме:

если В и не зависят от номера итерации k, то процесс называют стационарным.

Итерационный процесс (63) можно рассматривать как разностную схему расчета некоторой эволюционной задачи. Эту задачу можно найти, определяя нулевое или первое дифференциальное приближение разностной схемы (63). Физический смысл найденной задачи не имеет значения; важно только, чтобы она соответствовала диссипативному процессу, т. е. обеспечивала бы установление стационарного решения. Тем самым, несущественно, что именно аппроксимирует оператор В; он должен только: а) обеспечивать возможно более быстрое затухание начальных данных и б) легко обращаться, чтобы решение вычислялось за малое число действий.

Продольно-поперечная и локально-одномерная схемы, которые можно формально рассматривать как итерационные процессы (63) для решения системы удовлетворяют этим двум требованиям. Однако этим требованиям удовлетворяют также некоторые схемы, невыгодные для расчета параболических задач. Одной из таких схем является

Попеременно-треугольная схема, которую мы рассмотрим на примере двумерного уравнения

Запишем вспомогательное параболическое уравнение:

Выберем шаблон, показанный на рис. 90, и составим на нем чисто неявную разностную схему

которую можно переписать в канонической форме:

Рис. 90.

Как отмечалось выше, эта схема неэкономична, поскольку обращение оператора требует в общем случае большого числа операций на каждый узел сетки.

Введем треугольные операторы

определенные на треугольных шаблонах (шаблон для показан на рис. 90 жирными линиями). Нетрудно заметить, что , что позволяет записать схему (64) следующим образом:

Слегка изменим схему (66), добавляя в левую часть член имеющий порядок малости . Возникающий при этом оператор факторизуется, т. е. представляется в виде произведения операторов

Полученную схему называют попеременно-треугольной:

Операторы легко обращаются, так что алгоритм вычисления разностного решения в этой схеме несложен и требует небольшого числа операций на каждый узел сетки. В самом деле, такие операторы уже встречались пр» составлении схемы бегущего счета (10.29) для многомерного уравнения переноса; организация вычислений в этом случае была подробно разобрана в гл. X, § 1, п. 4. Схема (67) также решается посредством бегущего счета. На каждом слое сначала обращают оператор вычисления при этом начинают с узла и ведут, например, по направлениям доходя в конечном итоге до узла Затем обращают оператор начиная вычисления с узла ) и ведя их в обратном порядке.

Попеременно-треугольная схема естественно переносится на случай любого числа измерений. Она легко обобщается на дифференциальные уравнения с переменными или разрывными коэффициентами и области сложной формы. При этом схема для исходной задачи записывается в виде

где — диагональный оператор, выбираемый так, чтобы возможно сильнее уменьшить отношение границ эквивалентности (29) операторов А и а треугольные операторы выбраны так, чтобы выполнялось (нетрудно заметить, что в схеме (67) эти условия выполнены, причем Если используется чебышевский набор шагов, то процесс (68) сходится за итераций.

Градиентные методы. Можно заменить линейную задачу задачей на минимум квадратичной функции F(у). Если матрица А положительно определенная, то удобно взять задачу

Для произвольной матрицы А (которая встречается в задачах со смешанными производными) можно положить

Задачу на минимум можно решать методом наискорейшего спуска, что для случая (69) выполняется по формулам (6.22) — (6.26).

Скорость сходимости метода наискорейшего спуска, согласно оценке (6.27), такая же, как и у экономичных схем с постоянным оптимальным шагом, т. е. . Она меньше, чем у схем с чебышевским набором шагов. Достоинством метода является то, что для его применения не надо знать границы спектра оператора А.