6. Интерполяционный многочлен Эрмита.

Пусть табулирована не только функция, но и ее производные вплоть до некоторого порядка. Тогда можно потребовать, чтобы в узлах интерполяции совпадали не только значения искомой функции у(х) и интерполяционной функции , но и значения их производных вплоть до некоторого порядка. Такую интерполяцию будем называть эрмитовой; если — алгебраический многочлен степени, то он называется интерполяционным многочленом Эрмита и обозначается

Покажем, как построить этот многочлен. По узлу построим интерполяционный многочлен Ньютона Поскольку значения функции у(х) и многочлена в узлах совпадают, то их средние наклоны на участках между узлами равны. Мысленно будем приближать узел к узлу при этом средний наклон будет стремиться к производной. Значит, после совпадения узлов получим многочлен, который в узле правильно передает не только значение функции, но и значение первой производной. Символически обозначим его как

Слияние трех узлов в один обеспечивает передачу не только наклона, но и кривизны, т. е. первой и второй производных и т. д. Таким образом, многочлен

в узле правильно передает значение функции и ее производных вплоть до порядка и имеет минимально необходимую для этого степень.

Оценка погрешности метода (10) в этом случае принимает следующий вид:

Очевидно, если сетка имеет шаг h, а точка лежит между крайними узлами интерполяции, то следовательно, порядок точности эрмитовой интерполяции равен т. е. числу коэффициентов интерполяционного многочлена.

Заметим, что обычный многочлен Ньютона с таким же числом коэффициентов (т. е. той же степени) также имеет погрешность Однако на одной и той же сетке численная величина погрешности многочлена Ньютона будет больше, чем у многочлена Эрмита: его вспомогательный многочлен содержит больше узлов, чем и поэтому в него входят большие сомножители. Очевидно также, что чем более высокие производные используются при построении интерполяционного многочлена Эрмита заданной степени, тем меньше требуемое число узлов, и тем меньше будет численная величина его погрешности (хотя порядок точности остается одним и тем же).

Выражением (13) нельзя пользоваться буквально. Если формально подставить в формулу Ньютона (8) совпадающие узлы, то потребуется вычислить разделенные разности, у которых некоторые узлы являются кратными. Выражения (6) для таких разностей содержат неопределенность типа 0/0. Если кратность каждого узла не больше чем двойная, то эту неопределенность можно раскрыть с помощью предельного перехода, например,

Если узлы имеют более высокую кратность, то удобнее дифференцировать формулу Ньютона (8). Например, если ее продифференцировать раз, то обратятся в нуль все члены, содержащие разделенные разности порядка меньше . Затем положим тогда обратятся в нуль множители перед разделенными разностями порядка больше и мы получим

Но узлы более чем двойной кратности почти не встречаются в практике вычислений, ибо вторые и более высокие производные искомой функции редко табулируются.

Рассмотрим наиболее употребительные частные случаи интерполяционного многочлена Эрмита.

Первый случай — многочлен, который в одном узле совпадает с функцией и всеми ее заданными производными:

Очевидно, это отрезок ряда Тейлора; в этом случае и оценка (11) переходит в известную оценку точности ряда Тейлора.

Второй случай — многочлен, передающий в двух узлах значения функции и ее первой производной:

разделенные разности сюда надо подставить из соотношения (15). Функция внутри интервала интерполирования не превышает , так что погрешность формулы (18) не более эта формула имеет четвертый порядок точности.

Для сравнения приведем без вывода общее выражение интерполяционного многочлена Эрмита

Оно настолько громоздко, что пользоваться им для вычислений практически невозможно. Если все то обе внутренние суммы превращаются в одно слагаемое с и многочлен Эрмита переходит в многочлен Ньютона в форме Лагранжа. Если все то получим

можно проверить, что в случае двух узлов последнее выражение совпадает с (18) с точностью до формы записи. Но даже и это выражение оказывается очень громоздким.

Такая ситуация довольно часто встречается в прикладной математике. Общие формулы, рассчитанные на все случаи жизни, нередко оказываются настолько сложными, что их не применяют ни в одном конкретном случае.

К тому же, в практических расчетах, как мы увидим далее, нецелесообразно использовать многочлены высоких степеней, поэтому в общих формулах нет серьезной необходимости. Трудоемкость же вычислений часто оказывается существенно меньшей при применении рекуррентных процедур типа формулы разделенных разностей (6).