7. Криволинейные координаты.
Нередко приходится решать одномерные задачи с цилиндрической или сферической симметрией. Например, цилиндрическая симметрия имеется в задачах об остывании длинного цилиндра или в задачах о шнуровых электрических разрядах, где требуется определить теплопроводность и диффузию магнитного поля. Сферически-симметричными являются задачи о теплоотводе от ядра к поверхности звезды.
Естественной системой координат в таких задачах является, соответственно, цилиндрическая или сферическая . Вследствие одномерности все величины не будут зависеть от углов Тогда параболическое уравнение с переменными коэффициентами в соответствующих координатах примет вид
Здесь — показатель симметрии, равный 0, 1, 2 соответственно для плоского, цилиндрического и сферического случаев.
Для уравнения (43) можно построить консервативную схему, являющуюся обобщением наилучшей схемы (34).
Для этого проинтегрируем первое уравнение (43) по элементу объема в пространстве , а второе уравнение — по радиусу:
Уравнение (44a) есть интегральная запись закона сохранения энергии. Вычислим интеграл в его левой части:
где есть объем кольцевого или сферического слоя:
Аппроксимируя остальные интегралы так, как в п. 6, получим разностную схему с весами:
Исследование этой схемы проводится аналогично исследованию схемы (34).
Обратим внимание на постановку граничного условия при для цилиндрического или сферического случаев или 2). На оси или в центре симметрии естественное граничное условие есть
Для аппроксимации этого условия удобно выбрать пространственную сетку так, чтобы при этом узел будет фиктивным.
Тогда точка является серединой первого интервала, и разностный аналог краевого условия (47) примет вид
Замечание. Такой способ выбора сетки нередко применяют на внешней границе, а также в плоском случае, если на границе задано краевое условие второго рода