7. Криволинейные координаты.

Нередко приходится решать одномерные задачи с цилиндрической или сферической симметрией. Например, цилиндрическая симметрия имеется в задачах об остывании длинного цилиндра или в задачах о шнуровых электрических разрядах, где требуется определить теплопроводность и диффузию магнитного поля. Сферически-симметричными являются задачи о теплоотводе от ядра к поверхности звезды.

Естественной системой координат в таких задачах является, соответственно, цилиндрическая или сферическая . Вследствие одномерности все величины не будут зависеть от углов Тогда параболическое уравнение с переменными коэффициентами в соответствующих координатах примет вид

Здесь — показатель симметрии, равный 0, 1, 2 соответственно для плоского, цилиндрического и сферического случаев.

Для уравнения (43) можно построить консервативную схему, являющуюся обобщением наилучшей схемы (34).

Для этого проинтегрируем первое уравнение (43) по элементу объема в пространстве , а второе уравнение — по радиусу:

Уравнение (44a) есть интегральная запись закона сохранения энергии. Вычислим интеграл в его левой части:

где есть объем кольцевого или сферического слоя:

Аппроксимируя остальные интегралы так, как в п. 6, получим разностную схему с весами:

Исследование этой схемы проводится аналогично исследованию схемы (34).

Обратим внимание на постановку граничного условия при для цилиндрического или сферического случаев или 2). На оси или в центре симметрии естественное граничное условие есть

Для аппроксимации этого условия удобно выбрать пространственную сетку так, чтобы при этом узел будет фиктивным.

Тогда точка является серединой первого интервала, и разностный аналог краевого условия (47) примет вид

Замечание. Такой способ выбора сетки нередко применяют на внешней границе, а также в плоском случае, если на границе задано краевое условие второго рода