5. Метод дополненного вектора.

Для разностного метода, особенно в случае сложных нелинейных задач, важным и трудным является вопрос о фактическом вычислении разностного решения, ибо алгебраическая система (93) имеет заведомо высокий порядок. Для многих задач удобно находить это решение методом дополненного вектора. Изложим этот метод.

Заметим сначала, что метод стрельбы (и многие конкретные разностные алгоритмы) можно схематически описать следующим образом. Выбирается некоторое приближение ; затем вычисляется соответствующее ему приближение По этой функции находится новое приближение и т. д. При этом собственное значение и собственная функция считаются элементами разных метрических пространств.

Будем рассуждать иначе. Разностную собственную функцию можно считать вектором в -мерном пространстве. Увеличивая размерность пространства на единицу, рассмотрим собственное значение как новую компоненту этого вектора, Новый вектор назовем дополненным. Относительно компонент дополненного вектора алгебраическая система (93) перепишется в каноническом виде

Эта система нелинейна, даже если исходная задача была линейной относительно и как в примере (88).

Решать систему (96) будем методом Ньютона. Линеаризуя (96), получим на каждой итерации систему уравнений

линейную относительно приращений неизвестных . Если искомое решение алгебраической системы (96) не особенное, т. е. в нем , то при не слишком плохом нулевом приближении итерации (97) быстро сходятся к разностному решению. Отметим, что для линейных задач на собственные значения этот итерационный процесс совпадает с методом Дервюдье (см. главу VI, § 4, п. 2).

Удовлетворительное нулевое приближение для итераций (97) можно найти приближенными методами (метод Галеркина, разложение по малому параметру и т. д.), а в прикладных задачах его нередко удается получить из качественных соображений. Исключительно эффективна в таких задачах комплексная организация расчета, подробно описанная в § 2, п. 5.

Замечание 1. Метод дополненного вектора особенно полезен для уравнений, у которых задача Коши плохо обусловлена: он подавляет такую неустойчивость.

Замечание 2. Метод легко переносится на более общие задачи вида , где оператор А может быть интегро-дифференциальным (краевые условия предполагаются включенными в определение оператора). Вводя сетку и аппроксимируя разностными выражениями все производные и интегралы, входящие в оператор, получим алгебраическую систему (96) и решим ее итерационным процессом (97).

Замечание 3. Недостатком метода является то, что при неудачном выборе нулевого приближения итерации (97) могут не сойтись, или в задачах со спектром собственных значений итерации могут сойтись не к искомому собственному значению.

Замечание 4. В методе дополненного вектора требуется решать систему линейных уравнений (97). Это легко делать, только если матрица системы целиком помещается в оперативной памяти ЭВМ (например, на БЭСМ-6 это будет при числе неизвестных . Это приводит к ограничению допустимого числа интервалов сетки.

Если требуется решить задачу для системы большого числа дифференциальных уравнений (например, уравнения Хартри — Фока для многоэлектронного атома), то даже при довольно грубой сетке число узловых значений всех функций будет велико, и метод дополненного вектора применять трудно.

В подобных задачах успешно применяется так называемый непрерывный аналог метода Ньютона, имеющий линейную сходимость итераций, но зато позволяющий оперировать с очень большим числом неизвестных. Этот метод является специальным вариантом метода последовательных приближений, организованным так, что итерации всегда сходятся.