ГЛАВА XI. ПАРАБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ

Глава XI посвящена численному решению уравнений параболического типа. В § 1 рассмотрены одномерные задачи, начиная от случая простейшего уравнения с постоянными коэффициентами и кончая квазилинейным уравнением с разрывными коэффициентами в криволинейных координатах. Разобраны основные разностные схемы, используемые для решения таких задач.

В § 2 обсуждены принципиальные трудности, возникающие при переходе к случаю многих измерений; изложены продольно-поперечная прогонка, дающая хорошие результаты при решении задач с двумя пространственными переменными, и локально-одномерный метод, пригодный при любом числе измерений.

§ 1. Одномерные уравнения

1. Постановки задач.

К параболическим уравнениям приводят задачи теплопроводности, диффузии и ряд других. Типичной полной постановкой одномерной задачи является, например, первая краевая задача для случая линейной теплопроводности в однородной среде:

(16)

Она включает в себя задание самого уравнения, начальных данных на некотором отрезке и краевых условий на обоих концах этого отрезка.

Наиболее хорошо изучены линейные задачи, в которых и уравнение и краевые условия линейны. Для таких задач рассматривают три типа краевых условий. Условия первого рода (2) применительно к уравнению теплопроводности означают, что на границах задана зависимость температуры и от времени. Условия второго рода

соответствуют заданию тепловых потоков через границы.

Условия третьего рода

возникают, если на границах имеется линейный (ньютоновский) теплообмен с окружающей средой. Для задачи (1) с краевыми условиями (2), (3) или (4) корректность постановки доказана (см., например, [40]).

Часто встречаются и нелинейные задачи. Например, в главе IX было рассмотрено квазилинейное уравнение (9.9), связанное с задачами теплопроводности в плазме. Краевые условия также могут быть нелинейными; так, остывание черного тела за счет излучения с поверхности приводит к краевому условию

В главе IX отмечалась важная качественная особенность решений параболических уравнений: разрывы начальных данных сглаживаются с течением времени.

Другое любопытное свойство следует из вида функции точечного источника на бесконечной прямой для линейного уравнения

Если то , при сколь угодно больших и

Следовательно, при температура в каждой точке зависит от начальных данных во всех точках g бесконечной прямой, сколь угодно удаленных от Поэтому говорят, что в случае линейной теплопроводности скорость распространения тепла и область влияния бесконечны.

Строго говоря, параболическое уравнение лишь приближенно описывает процесс теплопроводности. На самом деле скорость распространения тепла конечна и не превышает (при молекулярной или электронной теплопроводности) тепловой скорости частиц. Влияние же удаленных точек, как видно из выражения для функции Грина (5), ослабевает очень быстро; отрезку времени соответствует характерная зона влияния

Этисоображения надо учитывать при построении разностных схем, поскольку, как отмечалось в главе X, правильный учет зоны влияния необходим для устойчивости схемы.

2. Семейство неявных схем.

Рассмотрим простейшие, но хорошие разностные схемы для уравнения теплопроводности (1) с постоянным коэффициентом:

Возьмем в области с прямоугольную сетку для простоты равномерную, с шагами Выберем шеститочечный шаблон, изображенный на рисунке жирными линиями, и составим на нем следующую двуслойную схему:

(6а)

Здесь записано меньше уравнений, чем имеется неизвестных Недостающие два уравнения находим из краевых условий; например, краевые условия первого рода (2) дают соотношения

Рис. 76.

В качестве правой части часто выбирают значение

Схема (6а, б) содержит параметр а; он является весовым множителем при пространственной производной с верхнего слоя. Поэтому (6а, б) есть однопараметрическое семейство схем. Меняя вес о, можно добиться улучшения тех или иных свойств схемы.

Исследуем схему (6а, б).

Существование решения и его вычисление. Если , то схема (6). переходит в рассмотренную ранее явную схему (9.18). Разностное решение при этом легко вычисляется, его существование и единственность очевидны.

Если , то схема (6) существенно неявна. Перепишем ее в следующем виде:

На каждом слое уравнения (7) образуют линейную систему с неизвестными . Система (7) имеет трехдиагональную матрицу и решается методом прогонки. При решение существует и единственно, а прогонка устойчива, ибо диагональный член матрицы (7) преобладает: его модуль больше суммы модулей недиагональных членов.

Таким образом, при решение разностной схемы (6) существует и единственно при любых ограниченных начальных и краевых данных и правой части. Это решение легко вычисляется, причем за небольшое число действий.

Замечание 1. При схема (6) использует только четыре точки шаблона и называется чисто неявной. При схему называют схемой с полусуммой или симметричной (имеется в виду симметрия по времени, ибо схема (6) симметрична по пространству при любом а).

Аппроксимация. Разложим решение в узлах шаблона рис. 76 по формуле Тейлора, выбирая за центр разложения точку Тогда получим

где все производные отнесены к центру разложения. Разложение для получается из (8) изменением знака h, разложение для — изменением знака ; для определения надо в (8) положить и т. д. Подставляя эти разложения в выражение невязки схемы (6а), получим

Отсюда видно, что если положить , то при схема (6) имеет аппроксимацию симметричная схема с имеет более хорошую аппроксимацию

Надо проверить аппроксимацию не только уравнения, но и начальных и краевых условий. Начальное условие (16) и краевые условия первого рода (2) мы аппроксимировали точно, положив . Аппроксимация краевых условий второго или третьего рода уже не была бы точной, а содержала бы некоторую погрешность, как это отмечалось в главе IX.

Замечание 2. Для k = const за счет специального выбора веса и правой части можно построить схемы повышенной точности. Для решения дифференциального уравнения (1а) справедливо соотношение

Подставляя его в (9), преобразуем невязку:

Если положить

то обе квадратные скобки в (10) обратятся в нуль и погрешность аппроксимации схемы (6), (11) будет равной . Удерживая в формуле Тейлора (8) большее число членов, можно показать, что невязка (10) при этом равна

Замечание 3. Можно заменить в (11) второй пространственной разностью, получая следующее выражение для правой части:

Этот вариант схемы повышенной точности имеет аппроксимацию также .

Замечание 4. Приведенные оценки аппроксимации справедливы, если непрерывны те производные решения и , которые входят в выражение главного члена невязки.

Устойчивость. Исследуем устойчивость по начальным данным методом разделения переменных. Поскольку схема (б) линейна, то для этого достаточно положить в ней и сделать стандартную подстановку . Тогда легко получить множитель роста гармоники

Он вещественный, причем при любом справедливо неравенство . Следовательно, схема (6) устойчива, если при любом q выполняется условие Нетрудно проверить, что это справедливо при

Последнее неравенство является условием равномерной устойчивости схемы (6) по начальным данным (в ).

Примененный здесь простейший вариант метода резделения переменных не является строгим. Однако для схемы на равномерной сетке (6) нетрудно проверить, что функции

являются собственными функциями разностной задачи Штурма — Лиувилля для (6). Соответствующие им собственные значения имеют вид (13), причем . При их помощи можно получить строгое необходимое и достаточное условие устойчивости, практически не отличающееся от (14).

Дополнительное условие устойчивости по правой части (9.54), как легко видеть из (6), выполняется при любых и Н. Следовательно, схема устойчива по правой части, если выполнено условие (14) равномерной устойчивости по начальным данным.

Для чисто неявной схемы, симметричной схемы и схемы повышенной точности условие (14) выполняется при любом соотношении шагов таким образом, эти схемы безусловно устойчивы. Для явной схемы условие (14) выполняется только при , т. е. схема условно устойчива, что мы уже установили в главе IX.

Замечание 5. Справедливо более сильное утверждение: все эти схемы устойчивы в . В общем случае для доказательства этого утверждения приходится применять более сложную технику. Однако из принципа максимума нетрудно получить достаточное условие устойчивости в норме

Оно более жестко, чем условие (14), но в случае явной и чисто неявной схем из него следует сделанное выше утверждение.

Сходимость. Из сказанного выше следует, что на решениях и имеющих достаточное число непрерывных производных, семейство схем (6) с весом обеспечивает равномерную сходимость при выполнении условия устойчивости (14).

Для схем с погрешность т. е. схемы имеют первый порядок точности по времени и второй — по пространству. Для симметричной схемы погрешность равна т. е. порядок точности по обеим переменным второй.

Схема повышенной точности с весом (11) и соответственно выбранной имеет погрешность

Замечание 6. Поскольку схема (6) двуслойная, то она без изменения переносится на неравномерную сетку по t (разумеется, при шаге по времени надо ставить его индекс). На неравномерную сетку по эта схема легко обобщается. Достаточно соответствующим образом записать разностный аналог пространственной производной:

В этом случае схема по-прежнему сходится в с погрешностью однако доказательство этого утверждения значительно сложнее и проводится методом энергетических неравенств (см. [30]).

Подвед ем итоги. Поскольку погрешность почти для всех значений а есть то для получения хорошей точности при расчете по схемам (6) надо брать довольно малый шаг

В этом случае явная схема устойчива при настолько малом что для доведения расчета до заданного момента Т требуется сделать очень много шагов по времени, т. е. выполнить большой объем вычислений. Поэтому явные схемы для решения параболических уравнений почти никогда не употребляются.

Обычно для расчетов берут двуслойные неявные безусловно устойчивые схемы. Чаще всего используют симметричную схему или схему повышенной точности, обеспечивающие хорошую точность расчета при не слишком малых шагах и h. Чисто неявная схема в случае редко, употребляется из-за невысокой точности (хотя при ) она часто выгодна благбдаря своей монотонности).