5. Консервативные схемы.

Ложной сходимости можно избежать, используя консервативные схемы. Эти схемы составляют методом баланса, исходя из физических законов сохранения и соблюдая дополнительное правило, описанное ниже.

Сначала разберем законы сохранения на примере уравнения (44). Запишем ту дивергентную форму этого уравнения (46), которая в п. 1 была условно принята за правильную:

Выбирая отдельную ячейку сетки (рис. 74) и интегрируя по ней уравнение (63), получим точное интегральное соотношение

(64)

Уравнение (63) можно проинтегрировать не по отдельной ячейке, а по всей области

и получить аналогичное интегральное соотношение:

Это соотношение напоминает физические законы сохранения: первый интеграл дает изменение за истекшее время, а второй есть разность потоков через правую и левую границу. Соотношение (65) является законом сохранения для данной задачи.

Очевидно, соотношение (64) является законом сохранения для каждой отдельной ячейки; оно содержит потоки и другие величины на границах этой ячейки. Просуммируем (64) по всем ячейкам области G:

Легко видеть, что интегралы по тем границам ячеек, которые лежат внутри G, попарно уничтожаются; остаются только интегралы по наружной границе, и (66) совпадает с (65). Иными словами, закон сохранения во всей области есть точное следствие закона сохранения в отдельных ячейках.

Не всякая разностная схема обладает таким свойством. Например, возьмем схему с ложной сходимостью (59), умножим обе части на и просуммируем по всем ячейкам:

Преобразуем второе слагаемое в квадратных скобках:

Тогда (67) легко привести к следующему виду:

где

Первая и вторая суммы в (68) являются разностными аналогами интегралов в (65); они не содержат значений во внутренних узлах области G. Но остается еще третья (двойная) сумма (69), содержащая внутренние узлы неустранимым образом и заведомо не равная нулю.

Поэтому при расчете по схеме (59) разностный закон сохранения во всей области G нарушается на величину А. Такие схемы называют неконсервативными, а величину А называют дисбалансом схемы.

Построим консервативную схему, т. е. такую, у которой дисбаланс равен нулю. Для этого в интегральном соотношении (64) аппроксимируем интегралы линейными квадратурными формулами. Если, для определенности, воспользоваться формулой прямоугольников с теми же узлами, что в предыдущей схеме, то получим явную схему следующего вида:

Рис. 75.

Суммирование (70) по всем ячейкам дает именно две первые суммы в (68), и дисбаланса не возникает.

Выбирая другие шаблоны, можно построить различные консервативные схемы для уравнения (44). Например, если вычислить интегралы в (64) по шаблону рис. 75, то получим неявную схему

Это — схема бегущего счета, и для выполнения вычислений ее удобно переписать в следующем виде:

здесь из двух корней квадратного уравнения (71а) согласно условию и выбран положительный. Суммируя (71а) повеем ячейкам, получим разностный закон сохранения:

Вторая сумма немного отличается от второй суммы (68), но это отличие несущественно. Дисбаланс отсутствует, так что схема (71) консервативна.

Схема (71) любопытна во многих отношениях. Она является схемой сквозного счета; хотя ее сходимость строго не доказана, она успешно используется для расчета сильных разрывов даже в отсутствие псевдовязкости (по-видимому, это связано с наличием достаточно большой аппроксимационной вязкости схемы).

Схема монотонна. Есть обобщения этой схемы, сохраняющие все ее хорошие свойства и существенно повышающие точность расчета [70].

Интерес к таким схемам объясняется тем, что многие изложенные здесь идеи удается перенести на случай газодинамики и других сложных и важных задач.

Консервативные схемы выражают закон сохранения на сетке, т. е. они качественно похожи на исходное интегральное уравнение. Неконсервативные схемы этим свойством не обладают. Поэтому, по сравнению с неконсервативными схемами, консервативные схемы обычно приводят к существенному улучшению точности расчета как разрывных, так и гладких решений.

Построены схемы, одновременно удовлетворяющие большому числу различных физических законов сохранения (см. [34]). Эти схемы, названные полностью консервативными, оказались полезными в задачах магнитной газодинамики, физики разреженной плазмы и ряде других.

Таким образом, понятие консервативности широко используется при составлении и исследовании разностных схем.

Заметим, однако, что различные полезные свойства схем (консервативность, монотонность, высокий порядок аппроксимации) нередко противоречат друг другу, так что может не существовать схемы, одновременно удовлетворяющей всем этим требованиям. Кроме того, не для всех классов уравнений консервативность является необходимым условием сходимости, и составлено немало хороших, хотя и неконсервативных схем.