§ 3. Минимум в ограниченной области

1. Формулировка задачи.

Пусть в -мерном векторном пространстве задана скалярная функция Рассмотрим задачу на минимум с дополнительными условиями двух типов:

Условия типа равенств выделяют в пространстве некоторую -мерную поверхность; поэтому должно выполняться неравенство Условия типа неравенств выделяют -мерную область, ограниченную гиперповерхностями ; число таких условий может быть произвольным.

Следовательно, задача (38) есть поиск минимума функции переменных в -мерной области

Функция может достигать минимального значения как внутри области, так и на ее границе. Эта задача и особенно последний случай трудны для расчета. Вид дополнительных условий в любой реальной задаче не слишком прост, так что явно ввести в области G собственную — -мерную систему координат практически никогда не удается. Значит, при численном расчете мы вынуждены вести спуск не на -мерной поверхности, а во всем -мерном пространстве. Тогда даже если нулевое приближение лежит в области G, естественная траектория спуска сразу выходит из этой области; особенно сложно «заставить» траекторию идти вдоль границы области.

В математических задачах экономики поиск минимума при дополнительных условиях называют (в зависимости от типа функций) линейным, нелинейным и т. д. программированием.