2. Методы решения.

Их можно условно разбить на точные, приближенные и численные. К точным относятся методы, позволяющие выразить решение дифференциального уравнения через элементарные функции, либо представить его при помощи квадратур от элементарных функций.

Эти методы изучаются в курсах обыкновенных дифференциальных уравнений. Нахождение точного решения задачи (1)-(2), а тем более — общего решения системы (1) облегчает качественное исследование этого решения и дальнейшие действия с ним.

Однако классы уравнений, для которых разработаны методы получения точных решений, сравнительно узки и охватывают только малую часть возникающих на практике задач. Например, доказано, что решение несложного уравнения

не выражается через элементарные функции. А уравнение

можно точно проинтегрировать и найти общее решение

(5)

Однако для того, чтобы составить таблицу значений надо численно решить трансцендентное уравнение (5), а это нисколько не проще, чем непосредственно численно проинтегрировать уравнение

Приближенными будем называть методы, в которых решение получается как предел и некоторой последовательности причем выражаются через элементарные функции или при помощи квадратур. Ограничиваясь конечным числом , получаем приближенное выражение для Примером может служить метод разложения решения в обобщенный степенной ряд, рассматриваемый в курсах обыкновенных дифференциальных уравнений; некоторые другие приближенные методы будут изложены в этой главе. Однако эти методы удобны лишь в том случае, когда большую часть промежуточных выкладок удается сделать точно (например, найти явное выражение коэффициентов ряда). Это выполнимо лишь для сравнительно простых задач (таких как линейные), что сильно сужает область применения приближенных методов.

Численные методы — это алгоритмы вычисления приближенных (а иногда — точных) значений искомого решения и на некоторой выбранной сетке значений аргумента Решение при этом получается в виде таблицы. Численные методы не позволяют найти общего решения системы (1); они могут дать только какое-то частное решение, например, решение задачи Коши (1) — (2). Это основной недостаток численных методов. Зато эти методы применимы к очень широким классам уравнений и всем типам задач для них.

Поэтому с появлением быстродействующих ЭВМ численные методы решения стали одним из основных способов решения конкретных практических задач для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Численные методы можно применять только к корректно поставленным (или регуляризованным) задачам. Заметим, однако, что для успешного применения численных методов формальное выполнение условий корректности может оказаться недостаточным. Надо, чтобы задача была хорошо обусловлена, т. е. малые изменения начальных условий приводили бы к достаточно малому изменению интегральных кривых. Если это условие не выполнено, т. е. задача плохо обусловлена (слабо устойчива), то небольшие изменения начальных условий или эквивалентные этим изменениям небольшие погрешности численного метода могут сильно исказить решение.

В качестве примера плохой обусловленности рассмотрим задачу

Общее решение уравнения (6а) содержит одну произвольную постоянную

При начальном условии (66) она равна так что и . Однако небольшое изменение начального условия слегка меняет постоянную: тогда , т. е. решение изменилось очень сильно.

В этом параграфе рассмотрены методы решения задачи Коши. Для простоты записи мы почти всюду ограничимся случаем одного уравнения первого порядка. Алгоритмы для случая системы уравнений (16) легко получаются из алгоритмов, составленных для одного уравнения, формальной заменой на .