ГЛАВА XIV. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

В главе XIV рассмотрены простейшие методы решения интегральных уравнений. Корректно поставленным задачам посвящен § 1. В нем изложены некоторые типичные постановки задач и даны методы их решения: разностный метод и некоторые приближенные методы.

В § 2 рассмотрены некорректно поставленные задачи для линейных интегральных уравнений первого рода. Изложена теория построения регуляризирующих алгоритмов по А. Н. Тихонову. Для некоторых некорректных задач, возникших в предыдущих главах, даны алгоритмы решения, доведенные до схем численного расчета.

§ 1. Корректно поставленные задачи

1. Постановки задач.

Интегральным называют уравнение, в котором неизвестная функция и стоит под знаком интеграла. Одномерное нелинейное интегральное уравнение имеет вид

где ядро и правая часть — заданные функции.

К интегральным уравнениям приводят многие физические задачи. Так, задача восстановления переданного радиосигнала и по принятому сигналу сводится к решению интегрального уравнения типа свертки:

где ядро зависит от свойств приемной аппаратуры и среды, через которую проходит сигнал.

Заметим, что даже для задач, записанных в терминах уравнений в частных производных, первичной обычно является формулировка в виде интегральных законов сохранения, т. е. интегральных уравнений. В предыдущих главах такие формулировки использовались, например, для построения консервативных разностных схем.

Интегральные уравнения в некоторых отношениях удобнее дифференциальных. Во-первых, интегральное уравнение содержит в себе полную постановку задачи. Например, интегральное уравнение

эквивалентно задаче Коши для дифференциального уравнения

Тем самым, для уравнения (3) не требуется задавать никаких дополнительных условий, начальных или граничных (см. также задачу 1).

Во-вторых, в интегральных уравнениях переход от одной переменной ко многим является естественным. Так, многомерным аналогом (1) является уравнение

отличающееся от (1) только тем, что интегрирование проводится по многомерной области G. Поскольку оба уравнения не требуют дополнительных условий и полностью определяют задачу, аналогия является полной. Тем самым, теоретическое обоснование постановок и методов решения одномерных задач непосредственно обобщается на случай многих измерений.

Наоборот, в дифференциальных уравнениях переход от одной переменной к нескольким, т. е. от обыкновенных дифференциальных уравнений к уравнениям в частных производных, является принципиальным усложнением, приводит к новым постановкам задач и требует новых методов для их обоснования.

Далее мы ограничимся рассмотрением одномерного уравнения (1) и некоторых его частных случаев.

Линейные задачи. Лучше всего изучены уравнения, в которые неизвестная функция входит линейно (см. [23]). Их можно записать в виде

Это уравнение называют уравнением Фредгольма второго рода: ядро этого уравнения определено на квадрате

Если ядро отлично от нуля только на треугольнике (т. е. при то уравнение (6) переходит в уравнение Волыперра второго рода:

Это уравнение теоретически исследовать или численно решить много проще, чем уравнение Фредгольма.

Если в уравнениях (6) и (7) отбросить член оставив только и под знаком интеграла, то получим уравнения Фредгольма и Вольтерра первого рода. Задачи для уравнений первого рода являются некорректно поставленными и будут рассмотрены в § 2. Для уравнений второго рода задачи корректно поставлены; остановимся на этих задачах.

Для однородного уравнения Фредгольма второго рода (6) ставится задача на собственные значения:

Требуется найти такие значения параметра при которых уравнение (8) имеет нетривиальные решения называют собственными значениями ядра — собственными функциями.

Если ядро вещественное и симметричное, , то оно имеет по меньшей мере одно собственное значение. Все собственные значения такого ядра вещественны, а его собственные функции ортогональны друг другу. Заметим, однако, что система собственных функций может быть неполной и даже конечной.

Неоднородное уравнение Фредгольма (6) при значении параметра К, не равном ни одному из собственных значений ядра, имеет решение притом единственное.

Если ядро и правая, часть непрерывны вместе со своими производными, то решение также раз непрерывно дифференцируемо. В этом легко убедиться, продифференцировав (6) раз:

При сделанных предположениях правая часть этого равенства непрерывно зависит от что доказывает наше утверждение.

Для симметричного ядра решение неоднородного уравнения (6) представляется в виде разложения Шмидта:

если ядро и правая часть интегрируемы с квадратом, то этот ряд сходится абсолютно и равномерно.

В данном случае из формулы (9) непосредственно видно, что при решение существует, единственно и непрерывно зависит от что означает корректность задачи (6).

Пусть параметр равен одному из собственных значений -ядра . Тогда неоднородное уравнение Фредгольма (6) при произвольной правой части вообще говоря, не имеет решения. Однако при некоторых правых частях оно может иметь решение, притом не единственное (соответствующие примеры будут рассмотрены в п. 4). Таким образом, при в классе непрерывных или даже достаточно гладких правых частей задача (6) является некорректно поставленной.

Уравнение Вольтерране имеет собственных значений: если в уравнении (7) положить , то оно будет иметь только тривиальное решение и . Поэтому неоднородное уравнение (7) всегда имеет решение, притом единственное.