ЗАДАЧИ

1. Составить из обобщенных формул трапеций (8) и средних (17) такую линейную комбинацию, чтобы сократились главные части их погрешностей. Показать, что при этом получается обобщенная формула Симпсона (12).

2. Доказать для формулы трапеций на квазиравномерной сетке асимптотическую оценку погрешности (10).

3. Построить трехочечные разностные выражения для на концах отрезка интегрирования. Подставляя их в формулу Эйлера (21), вывести квадратурную формулу Грегори. Найти погрешность этой формулы.

4. Для примера интегрирования функции приведенного в таблице 14, найти по таблице 13 мажорантную оценку погрешности примененных квадратурных формул. Проверить, насколько фактическая ошибка на каждой сетке отличается от мажорантной.

Убедиться, что фактическая погрешность не имеет вида

5. Найти погрешность нелинейной квадратурной формулы (33) на равномерной сетке.

6. Найти погрешность квадратурной формулы Филона (38), аналогичной формуле трапеций.

7. Для слабо меняющихся функций формулы средних и трапеций близки по точности. Почему их аналоги для быстро осциллирующих функций (35) и (37) имеют существенно разную точность?

8. Вывести формулу Филона, соответствующую квадратичной аппроксимации амплитуды по трем соседним узлам. Сравнить ее с формулой Симпсона.

9. Найти асимптотическое выражение погрешности квадратурной формулы (41).

10. Найти формулу для определения числа я способом Бюффона (§ 4, п. 4) и дисперсию этого способа; для этого удобно свести бросания к вычислению интеграла статистическими методами. Сделать то же для иголок, скрепленных крестом и снежинкой.