2. Оценки точности.

Для линейных задач оценки погрешности, как априорные мажорантные, так и апостериорные асимптотические, можно получить на основании приведенных ниже теорем.

Теорема 1. Если условия теоремы из п. 1 выполнены, операторы линейные, а порядок аппроксимации равен р, то сходимость имеет порядок не ниже .

Доказательство. Пусть задача (70) и разностная схема (71) линейны, а граница Г состоит из кусков .

Условие устойчивости (46) для линейной схемы принимает вид

(начальные условия, если задача их содержит, входят в сумму по граничным условиям). Рассмотрим погрешность разностного решения Вычтем соотношение (74)

из разностной схемы (71) и заметим, что благодаря линейности схемы Тогда удовлетворяет схеме с разностными операторами (71):

где в правых частях стоят невязки. Применяя к (76) условие устойчивости (75), получим

Поскольку схема (71) имеет порядок аппроксимации р, то

Подставляя эти выражения в (77), получим априорную мажорантную оценку погрешности:

что доказывает теорему.

Замечание 1. Для доказательства требовалась линейность только разностных операторов, но фактически линейными разностными операторами можно аппроксимировать только линейные дифференциальные или интегральные операторы.

Замечание 2. Если условия теоремы 1 выполнены, то порядок точности может быть выше порядка аппроксимации. В таких случаях более полное исследование задачи нередко показывает, что для сходимости в данной норме достаточно устойчивости по более слабой норме в которой порядок аппроксимации выше.

Замечание 3. При оценках погрешности конкретных схем константы определяются в ходе доказательства устойчивости; они постоянны для данной схемы. Величины выражаются обычно через нормы некоторых производных и и тем самым зависят от решения (см. выражения невязки (25) или

Замечание 4. Для нелинейных схем можно сформулировать аналогичную теорему.

При этом следует пользоваться определением устойчивости (45), которое можно записать так: если ,

Тогда, если , то порядок точности будет не ниже при снова приходим к

Замечание 5. Для случая многих переменных порядок аппроксимации по разным переменным может быть неодинаковым. Очевидно, порядок точности по разным переменным также может быть различным.

Пример. Явная схема для первой краевой задачи теплопроводности (15), разобранная в примере к п. 1, имеет погрешность аппроксимации (25):

Начальные данные и краевые условия аппроксимируются точно, и устойчивости по ним можно не требовать; согласно замечанию 1 в § 3, п. 4 условие устойчивости по правой части имеет вид

Отсюда следует априорная оценка

т. е. схема имеет первый порядок точности по времени и второй — по пространству.

Для практических вычислений важное значение имеет следующая

Теорема 2. Пусть задача (70) и разностная схема (71) линейны, разностная схема корректна и аппроксимирует задачу так, что существуют

Пусть существует решение задачи

и на этом решении разностные операпюры аппроксимируют дифференциальные операторы

Тогда погрешность решения (71) имеет следующую асимптотику.

Доказательство. Пользуясь линейностью операторов, нетрудно установить следующее равенство:

аналогичные равенства записываются для граничных условий. При h 0 правые части всех этих равенств стремятся по норме к нулю: последняя скобка — на основании предположения об аппроксимации на функции , а остальные члены — согласно условию (82).

Тогда, благодаря устойчивости разностных операторов выражение в квадратных скобках в левой части этих равенств стремится по норме к решению задачи (71) с нулевой правой частью, которое тождественно равно нулю. Теорема доказана.

Замечание 1. Теорему можно обобщить на случай многих переменных, даже если порядок аппроксимации по разным переменным неодинаковый. В случае двух переменных возможна следующая асимптотика погрешности:

или иная, в зависимости от характера аппроксимации.

Теорема 2 обосновывает использование метода Рунге для апостериорной асимптотической оценки погрешности или для уточнения результата.

Например, явная схема (18) для уравнения имеет невязку (26), равную . Поскольку решение этого уравнения дифференцируемо любое число раз, то легко проверить выполнение условий теоремы 2 и определить погрешность:

где I удовлетворяет уравнению и соответствующим начальным и граничным условиям.

Возьмем сетку с шагами и сгущенную сетку с шагами (обычно полагают ). На второй сетке погрешность по каждой переменной, как видно из (86), уменьшается в раз. Обозначая разностные решения на этих сетках соответственно, через определим погрешность (см. гл. III, п. 3 и гл. VIII, § 1, п. 11):

Эту погрешность можно использовать для оценки точности разностного решения, а можно вычесть ее из разностного решения, тем самым уточнив его.

Замечание 2. Если функция такова, что к ней самой применима теорема 2, то можно использовать рекуррентный метод Рунге, несколько раз сгущая сетку.

Изложенная в этой главе теория разностных схем применима к разностным схемам, аппроксимирующим корректно поставленные задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений, уравнений в частных производных и интегральных уравнений. Теория переносится на решение уравнений в частных производных методом прямых. Хотя в большинстве формулировок фигурировало только одно уравнение и одна переменная, но теория очевидным образом обобщается на системы уравнений или случай многих переменных.

Теория разностных схем применяется также для доказательства существования решения точной задачи (70) и установления его свойств. В качестве примера приведем без доказательства одно утверждение.

Теорема 3. Если для задачи (70) существует хотя бы одна корректная разностная схема (71), аппроксимирующая задачу на функциях , то решение задачи (70) в классе U существует и единственно. Если правые части непрерывны равномерно по h, то и непрерывно зависит от .