3. Геометрическая интерпретация устойчивости.

Ограничимся устойчивостью по начальным данным. Рассмотрим однородное уравнение (3) с общее решение которого имеет вид т. е. переносится по характеристикам без изменения.

Рис. 60.

Рассмотрим схему (9) с шаблоном, изображенным на рис. 60 (см. также рис. 56). Построим характеристику, проходящую через искомый узел она обозначена стрелкой на рис. 60. Эта характеристика пересекает исходный слой в точке Схему (9) без правой части можно интерпретировать следующим образом. Линейно интерполируя разностное решение между узлами исходного слоя, найдем

Затем найденное значение перенесем без изменения по характеристике в искомый узел, т. е. положим

Если выполнено условие устойчивости схемы , то в противном случае . Иными словами, схема (9) устойчива, если вычисляется по ранее найденным значениям у при помощи интерполяции (рис. 60, а); схема неустойчива, если используется экстраполяция (рис. 60, б).

Рис. 61.

Причина этого состоит в том, что при точной постановке задачи в узел приходят возмущения только из точки исходного слоя . Если точка лежит вне отрезка то, сохраняя непрерывность и гладкость решения, можно сильно изменить его на этом отрезке (на слое ), не меняя значения Значение при этом сохраняется, а значение сильно изменяется, поскольку оно вычисляется по изменившимся значениям Значит, не может сходиться к

Схемы (10) и (11) тоже можно интерпретировать как линейную интерполяцию по двум уже вычисленным значениям, с последующим переносом по характеристике. В частности, безусловная устойчивость схемы (11) связана с тем, что приходящая в искомый узел характеристика (стрелка на рис. 61) при любых и h пересекает отрезок, соединяющий исходные узлы (пунктир на рисунке).

Схема (12) интерпретируется тоже как интерполяция, но не двухточечная линейная, а трехточечная квадратичная (что, естественно, приводит к более высокому порядку точности). Какую бы сторону ячейки на рис. 59 ни пересекала приходящая в узел характеристика — горизонтальную или вертикальную, эта сторона связывает узлы с ранее вычисленными значениями у, поэтому экстраполяции здесь нет, что приводит к безусловной устойчивости схемы (12).

Таким образом, прослеживая положение характеристик, нетрудно так выбрать шаблон и составить на нем разностную схему, чтобы схема была устойчива. Приведем несколько примеров.

Явно-неявная схема. Будем считать, что шаги по времени и по пространству не постоянны, а коэффициент уравнения (3) переменный. Приступая к вычислению проверим критерий Куранта (14) в данной ячейке. Если он выполнен, то проведем вычисления по схеме (9):

В противном случае воспользуемся схемой (10):

Очевидно, явно-неявная схема (22) безусловно устойчива, причем ее невязка меньше, чем у безусловно устойчивой схемы (11). Схему (22) обычно применяют в тех случаях, когда точное решение является недостаточно гладким или быстропеременным.

Схема без шаблона. Проведем через искомый узел характеристику и определим точку ее пересечения с исходным слоем Найдем на исходном слое такую пару узлов между которыми заключена точка Определим линейной интерполяцией по значениям

Перенесем вычисленное значение по характеристике в искомый узел, т. е. положим Очевидно, схема (23) абсолютно устойчива; но по точности и удобству вычислений она уступает схеме (22) и поэтому редко применяется.

В схеме (23) положение узлов относительно узла не фиксировано. Если скорость переменна или сетка неравномерна, то будет непостоянной величиной. Таким образом, эта схема не имеет шаблона.

Случай . В этом случае наклон характеристик на плоскости отрицателен; характеристики зеркально отражены относительно вертикали по сравнению со случаем . Соответственно меняется постановка задачи: для отрезка граничное условие теперь должно задаваться справа, при

Очевидно, шаблоны для устойчивых схем можно получить зеркальным отражением соответствующих шаблонов рис. 56—59. Например, вместо шаблона рис. 56 берут шаблон рис. 62, получая устойчивую при схему.

Направление бегущего счета также меняется: расчет на каждом слое ведут справа налево.

Рис. 62.

Отметим, что шаблоны рис. 57 и 58 зеркальны друг другу; это означает, что при схема (10) становится безусловно устойчивой, а схема (11) — условно устойчивой. Симметричная схема (12) не меняется при отражении, так что она устойчива при любом знаке скорости; но направление счета, разумеется, зависит от знака скорости.

Знакопеременная . В этом случае задача в области поставлена корректно, если заданы значения решения на тех и только тех границах, с которых характеристики идут внутрь области.

Пусть, например, скорость с непрерывна в области и меняет знак только при причем . Вид характеристик в этом случае изображен на рис. 63. Корректной будет постановка задачи с двумя граничными условиями:

Рис. 63.

Фактически здесь имеется зона влияния каждой границы; эти зоны разделены линией (пунктир на рисунке). В каждой зоне можно построить схему бегущего счета со своим направлен нием движения.

Можно поступить и иначе. Возьмем шаблон рис. 64 и построим на нем неявную схему

По направлению характеристики (стрелки на рисунке) видно, что при любом знаке с и любых шагах значение вычисляется интерполяцией. Методом разделения переменных нетрудно показать, что схема (25) безусловно устойчива при любом знаке с.

Схема (25) содержит три точки нового слоя. В главе IX отмечалось, что в подобных случаях разностное решение находят прогонкой. Достаточное условие устойчивости прогонки (5.14) в этом случае выполняется только при хотя обычно можно вести расчет и при нарушении этого условия.

Рис. 64.

Рис. 65.

Замечание. Геометрическая интерпретация дает необходимое, но не достаточное условие устойчивости. Например, рассмотрим явную схему на шаблоне рис. 65:

При она соответствует интерполяции на исходном слое. Однако она неустойчива при любом соотношении шагов (абсолютно неустойчива), что легко доказать методом разделения переменных. В самом деле, подставляя в (26)

получим множитель роста отдельной гармоники:

Для гармоники этот множитель неограниченно велик при . Значит, устойчивости нет.

Поэтому геометрическую интерпретацию используют как способ быстрой оценки качества шаблона и схемы и отбраковки заведомо плохих схем. Устойчивость выбранных при ее помощи схем обязательно проверяют методами, изложенными в главе IX (в большинстве случаев отобранные этим способом схемы оказываются устойчивыми).