3. Локально-одномерный метод.

Продольно-поперечная схема на задачи с числом измерений 3 непосредственно, не обобщается. В самом деле, введем промежуточный слой и на каждом слое составим схему типа (59), неявную по одному направлению и явную по остальным.

Во-первых, такая схема несимметрична и имеет аппроксимацию лишь . Во-вторых, она оказывается условно устойчивой при и, тем самым, неэкономичной.

Экономичные многомерные разностные схемы можно строить локально-одномерным методом, также используя промежуточные слои. Эти схемы имеют лишь суммарную аппроксимацию. На промежуточных слоях они вообще не аппроксимируют исходное дифференциальное уравнение; но погрешности аппроксимации промежуточных слоев при суммировании гасят друг друга так, что на целом слое аппроксимация есть. При этом разностное решение следует сравнивать с точным только на целых слоях, не придавая промежуточным слоям самостоятельного смысла.

Рассмотрим многомерное параболическое уравнение (66); для простоты ограничимся случаем анизотропной теплопроводности с постоянными коэффициентами:

(67)

Аппроксимируем это уравнение симметричной неявной схемой, которую назовем исходной:

где — разностные операторы, аппроксимирующие с погрешностью обычно для них используют формулы (57), соответствующие Благодаря симметричной форме исходная схема имеет погрешность

Однако эта схема неэкономична, потому что не найдено хорошего алгоритма вычисления у.

Наряду с исходной схемой построим локально-одномерную схему. Введем промежуточные слои и на каждом слое в правой части (68) вместо возьмем в левой части поставим шаг . Обозначим решение на промежуточных шагах через

Тогда функции будут удовлетворять разностным уравнениям и начальным условиям следующего вида:

Поскольку — одномерные операторы, то каждая является решением одномерной разностной схемы; поэтому схему (69) называют локально-одномерной. Исследуем ее.

Устойчивость. Каждое уравнение (69а) является одномерной неявной симметричной схемой типа схемы (6) при -Последняя схема безусловно устойчива, так что ошибка начальных данных не возрастает ни на одном промежуточном слое. Следовательно, схема (69) также безусловно устойчива и позволяет вести расчет с шагом

Вычисление разностного решения несложно. Каждое уравнение (69а) решается одномерной прогонкой. По тем же причинам, что и в случае схемы (6), прогонка устойчива, а разностное решение у существует и единственно.

Для нахождения решения на новом целом слое надо выполнить прогонки по всем направлениям. Это требует действий на каждую точку сетки независимо от величин шагов . Таким образом, локально-одномерная схема экономична.

Аппроксимацию исследуем, сравнивая схему (69) с исходной. Для этого перепишем (69) в следующем виде:

Операторы попарно перестановочны; операторы получаются тоже попарно перестановочными. Последовательно применяя (70) и используя перестановочность операторов, нетрудно установить следующее равенство:

Раскроем произведения операторов и положим . Пренебрегая членами высокого порядка по , получим запись схемы (69):

или

На решениях с непрерывными пятыми производными двойная сумма в (71) есть поэтому (71) отличается от исходной схемы только членами Но погрешность аппроксимации исходной схемы равна

Следовательно, погрешность аппроксимации симметричной локально-одномерной схемы (69) на целых слоях есть

Заметим, что для получения погрешности аппроксимации в граничных условиях надо к естественным граничным условиям добавлять поправки типа (646).

Сходимость схемы (69), как следует из сказанного выше, является безусловной с погрешностью

Замечание. В некоторых случаях расщепление многомерной задачи на последовательность одномерных бывает точным. Например, многомерный перенос по характеристике точно эквивалентен последовательности, одномерных переносов по проекциям этой характеристики на координатные плоскости.

Остановимся на некоторых усложнениях задачи (67). Переменные коэффициенты приводят к тому, что операторы становятся неперестановочными и — тоже. В этом случае погрешность аппроксимации схемы (69) возрастает до Поэтому для уравнения

нередко ограничиваются чисто неявной локально-одномерной схемой

с естественными граничными условиями

здесь операторы построены по образцу одномерной наилучшей схемы (34).

Схема (73) безусловно устойчива и имеет точность

в норме

Для уравнения (72) можно добиться точности строя симметричный по времени алгоритм. Введем полуцелый слой t и перейдем на него по симметричной локально-одномерной схеме (69) в прямом порядке а Переход с полуцелого на новый слой t совершим по той же схеме, но в обратном порядке При этом в естественные краевые условия надо вносить поправки, аналогичные (646).

Квазилинейное уравнение с и). Чисто неявная локально-одномерная схема (73) естественно обобщается на этот случай. Аналогично § 1, п. 8, можно на промежуточном слое либо полагать и обходиться однократной прогонкой по данному направлению, либо полагать и решать одномерную схему (73а) прогонкой с итерациями.

Рис. 84.

Произвольная область с криволинейной границей. Покроем эту область прямоугольной сеткой, равномерной по каждой переменной (двумерный случайизображен на рис. 84). Точки пересечения линий сетки с границей также возьмем в качестве узлов сетки и запишем в них естественное разностное краевое условие (736). Во внутренних узлах аппроксимируем дифференциальное уравнение (72) чисто неявной локально-одномерной схемой (73а).

Пусть граничные значения и коэффициенты уравнения (72) достаточно гладки, так что точное решение непрерывно вместе со своими четвертыми производными всюду в включая границу области. Тогда построенная указанным образом схема безусловно устойчива и равномерно сходится с точностью

(доказательство см. в [30]).

В областях специальной формы — сфере или цилиндре — удобнее пользоваться не декартовыми координатами, а соответствующими криволинейными. Это позволяет получить более хорошую аппроксимацию вблизи границы и повышает фактическую точность расчета. Но при этом есть тонкости в аппроксимации вблизи центра или оси, на которых мы не останавливаемся.