9. Специальные методы.

Из всех численных методов интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений, рассчитанных на произвольные уравнения (точнее, на классы уравнений, у которых правые части имеют определенное число непрерывных и ограниченных производных), наилучшие результаты и при расчетах на ЭВМ, и при ручных расчетах дают методы Рунге — Кутта. Поэтому, приступая к решению какой-либо конкретной задачи Коши, обычно пробуют решить ее одной из описанных в п. 6 схем.

Но выше отмечалось, что встречаются задачи с быстропеременными решениями, когда все схемы Рунге — Кутта для получения удовлетворительной точности требуют неприемлемо малого шага.

Характерным примером такой задачи является система уравнений химической кинетики.

Сначала разберем задачу химического распада одного вещества

здесь и — концентрация вещества, t — время, а — скорость распада, которую считаем зависящей от t и и (ибо она зависит от температуры, а температура определяется выделением тепла при реакции и внешними условиями охлаждения). Запишем для уравнения (34) схему ломаных (15)

По смыслу задачи, концентрация вещества должна быть положительной. Но если скорость распада настолько велика, что хотя бы в одной точке то численное решение (35) будет знакопеременным, что физически бессмысленно. Применение вместо (15) схем Рунге—Кутта более высокого порядка точности лишь немного ослабляет указанное ограничение шага, не устраняя его (см. задачу 7).

Для одного уравнения (34) эта трудность несущественна: если скорость распада велика, то вещество распадается за малое время так что число шагов сетки будет умеренным. Но в системах уравнений химической кинетики присутствуют вещества с самыми различными константами распада или синтеза (нередко от до ). Тогда общий промежуток времени будет определяться самой медленной реакцией сек), а допустимый шаг интегрирования — самой быстрой реакцией сек). Ясно, что такой объем расчетов — около шагов — совершенно неприемлем.

Для подобных задач приходится использовать специальные методы, разработанные именно для данных узких классов уравнений; для других классов уравнений эти методы обычно оказываются непригодными. Способы построения специальных методов основаны на изучении и использовании свойств общих решений исследуемого класса уравнений. Рассмотрим некоторые способы.

Большинство способов основано на том, что для исходного уравнения и стараются найти такое вспомогательное уравнение чтобы решение последнего возможно более просто выражалось через элементарные функции, и при этом на заметном отрезке изменения аргумента выполнялось бы Иными словами, ищется, приближенное решение, имеющее достаточно простой вид.

Для нахождения приближенных решений можно применить метод Пикара или другие аналогичные методы. Нередко удается добиться успеха, слегка упрощая правую часть исходного уравнения. Например, если в задаче (34) положить , тогда вспомогательное уравнение будет , а его решением при заданном начальном условии является

Первый способ построения специальных схем удобен для знакопеременных решений (например, быстро осциллирующих). В нем рассматривается разность Вычитая вспомогательное уравнение из исходного, получим уравнение, которому удовлетворяет эта разность

здесь — известная функция. Если действительно является хорошим приближением к решеиию, то функция невелика, поэтому уравнение (36) должно легко интегрироваться обычными схемами Рунге — Кутта.

Второй способ выгоден для знакопостоянных решений (например, растущих по экспоненциальному или степенному закону). В нем рассматривается отношение а для систем уравнений — отношения Нетрудно убедиться, что это отношение удовлетворяет уравнению

где — известное приближенное решение. Аналогично предыдущему случаю, полученное уравнение должно хорошо интегрироваться численно схемами Рунге—Кутта.

Пример. Если для уравнения распада (34) воспользоваться приближенным решением то специальная схема (37) примет следующий вид:

при слабо меняющейся малость правой части очевидна.

Третий способ заключается в том, что вспомогательное уравнение рассматривается не на большом промежутке изменения аргумента, а на одном шаге сетки Берется его приближенное решение удовлетворяющее начальному условию . Поскольку интервал сетки невелик, то на нем приближенное решение будет близко к точному, поэтому можно положить и . Этот способ означает написание такой разностной схемы, которой решение воспомогательного уравнения удовлетворяет точно, а решение исходного уравнения — приближенно, но с малой погрешностью.

Пример. Рассмотрим уравнение, возникающее в задачах так называемой дифференциальной прогонки:

Если положить при то вспомогательное уравнение примет вид

Оно интегрируется в элементарных функциях

Это соотношение явно разрешается, давая такую специальную схему:

Если можно считать то схема (39а) упрощается:

Схемы (39а) и (396) дают неплохие результаты даже в тех случаях, когда условие устойчивости прогонки нарушено, а точное решение задачи (38) имеет полюсы.

При использовании третьего способа обычно удается построить схемы первого или второго порядка точности, но с малым остаточным членом (точнее, мала по величине комбинация производных, входящая множителем в остаточный член); схемы более высокого порядка точности построить этим путем трудно. Первый и второй способы позволяют использовать схемы Рунге—Кутта высокого порядка точности, но остаточный член при этом будет не очень мал, ибо решения на большом отрезке изменения аргумента могут заметно отличаться, и правые части уравнений (36) или (37) становятся большими. Однако первый и второй способы также можно применить к одному интервалу сетки; на этом пути можно построить специальные схемы высокого порядка точности с малым остаточным членом. Заметим, что все эти способы по существу эквивалентны специально подобранным нелинейным интерполяциям искомого решения.

Упомянем четвертый способ, заключающийся в построении так называемых точных разностных схем, которым точно удовлетворяет решение исходной задачи.

Коэффициенты таких схем обычно являются функционалами от коэффициентов исходного уравнения (и могут зависеть также от искомого решения). Но техника построения точных схем более сложна, и мы их не будем рассматривать, отсылая читателя к монографии [30].