5. Быстропеременные функции.

Если функция (точнее, ее разделенные разности) значительно меняется на протяжении нескольких интервалов сетки, то интерполяция обобщенным многочленом обычно недостаточно точна для дифференцирования этой функции. Для таких функций особенно полезна квазилинейная интерполяция, производимая при помощи выравнивающих переменных.

Если — выравнивающие переменные, то для искомой производной справедливо соотношение

Выравнивающие преобразования подбирают несложными, чтобы их производные находились точно. Остается только численно найти способами, изложенными в предыдущих пунктах.

Например, пусть имеются таблицы энергии многократно ионизованной плазмы тяжелых атомов. Рассмотрим нахождение теплоемкости она отличается от теплоемкости идеального газа, поскольку в нее входит энергия, идущая на отрыв от ионного остова новых электронов при повышении температуры. Ранее упоминалось, что зависимость напоминает степенную со слабо переменным показателем и выравнивающим является преобразование

Легко видеть, что формула (21) принимает вид

последнюю производную находят численным дифференцированием (см. задачу 7).

Если в исходных переменных сетка была равномерной или квазиравномерной, то обычно она квазиравномерна и в выравнивающих переменных, ибо выравнивающее преобразование на ограниченном отрезке почти всегда обладает требуемыми свойствами производных. В этом случае результат можно уточнять методом Рунге — Ромберга.

Формула двукратного дифференцирования при помощи выравнивающих переменных достаточно сложна:

и ее применение не всегда обеспечивает хорошую точность. Но для быстропеременной функции двукратное дифференцирование интерполяционного многочлена Лагранжа еще более ненадежно. Поэтому вторую и более высокие производные быстропеременной функции трудно найти численно.

Рис. 15.