4. Численные методы.

Задачи для нелинейных уравнений с коэффициентами достаточно общего вида или даже линейные задачи, но в областях сложной формы, редко удается решить классическими методами. Основным способом решения таких задач являются численные методы. Среди них чаще всего применяют разностные методы благодаря их универсальности и наличию хорошо разработанной теории.

Для применения разностного метода в области изменения переменных G(r, t) вводят некоторую сетку. Все производные, входящие в уравнение и краевые условия, заменяют разностями (или другими алгебраическими комбинациями) значений функции и в узлах сетки. Получающиеся при этом алгебраические уравнения называют разностной схемой. Решая полученную алгебраическую систему, найдем приближенное (разностное) решение в узлах сетки.

Как и в главе VIII, возникают вопросы: существует ли решение алгебраической системы и единственно ли оно; как это решение фактическивычислить (за возможно меньшее число действий); при каких условиях это разностное решение стремится к точному и какова скорость сходимости? Есть еще два вопроса, которые для обыкновенных дифференциальных уравнений были несложными: как выбрать сетку и как составить разностную схему на этой сетке?

Пример. Составим простейшие разностные схемы для одномерной задачи линейной теплопроводности на ограниченном отрезке

Решение ищется в области .

Введем в G прямоугольную сетку (для простоты равномерную), образованную пересечением линий являются шагами сетки по переменным (рис. 46). Значения функции в узлах сетки будем обозначать

Рис. 46.

Рис. 47.

Возьмем около узла конфигурацию узлов, изображенную на рис. 47, а. Заменим в уравнении (15а) производную разностным отношением , а производную — отношением . Тогда дифференциальное уравнение приближенно заменится (аппроксимируется) разностной схемой

Число уравнений (16) меньше числа недостающие уравнения выводятся из начальных и граничных данных (156):

Конфигурацию узлов, используемую для составления разностной схемы, называют шаблоном.

Для одной и той же задачи можно составить много разностных схем.

Например, если для задачи (15) выбрать изображенный на рис. 47, б шаблон, то вместо 16) получим другую схему:

Начальные и граничные условия для этой схемы можно записать в форме (17).

В этой, главе рассмотрены способы составления и исследования разностных схем, применимые для разных типов задач. В следующих главах излагаются те разностные схемы, которые дают хорошие результаты при решении некоторых распространенных типов уравнений математической физики, возникающих в задачах переноса, теплопроводности и диффузии, акустики и газодинамики, стационарных электрических полей.

Есть численные методы, близкие к разностным. Например, в методе прямых сетка вводится только для части переменных; эти переменные рассматриваются как дискретные, а одна переменная (обычно время t) остается непрерывной. Производные по дискретным переменным заменяются разностями. При этом уравнение в частных производных аппроксимируется дифференциально-разностными уравнениями, которые представляют собой систему большого числа обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод прямых оказывается в некоторых случаях удобным.

Для некоторых важных классов задач развиты специальные численные методы, обычно основанные на каких-либо грубых физических моделях процессов. Так, для задач многомерной газодинамики разработан метод частиц в ячейке; для задач разреженной плазмы предложен метод «водяного мешка» и ряд других (см. [6]); в задачах переноса нейтронов комбинируют разностный метод с разложением угловой части функции распределения частиц по сферическим гармоникам и т. д.

Численные методы позволяют решить сложнейшие задачи для систем многомерных уравнений. Однако для сложных задач численные методы очень трудоемки и рассчитаны на использование мощных ЭВМ. В этих случаях даже вывод разностной схемы, составление программы и ее отладка могут занимать несколько месяцев, а разработка математической модели или новых типов разностных схем нередко требует нескольких лет.

Поэтому численные методы целесообразно использовать в сочетании с аналитическими методами. Например, ищут такие упрощенные постановки задачи или частные случаи, когда можно найти точные или автомодельные решения и преобразования подобия. При помощи преобразования подобия по каждому найденному численному решению строят семейство решений. Все это позволяет с меньшими затратами труда провести детальное исследование исходной задачи,