§ 2. Одномерные уравнения газодинамики

1. Лагранжева форма записи.

Одномерные уравнения газодинамики являются хорошим приближением для описания ряда интересных задач: плоского течения сжимаемого газа в трубе, взрыва сферического или длинного цилиндрического заряда в газе, кумулятивных эффектов в мишенях при управляемом термоядерном синтезе (в последней задаче существенна также теплопроводность и другие эффекты) и т. д. Мы рассмотрим простые, но эффективные разностные схемы решения уравнений газодинамики без теплопроводности

Уравнения газодинамики могут записываться в различных формах — эйлеровой и лагранжевой. В эйлеровой форме производные по времени выражают изменение величин в данной точке пространства, а в лагранжевой — изменение характеристик данной материальной точки. Эти производные связаны соотношением

Если нас интересуют параметры потока в заданной пространственной области (течение газа в трубе), то естественно выбрать эйлеровы координаты. Если нам нужно исследовать поведение некоторой массы вещества, то целесообразно применение лагранжевых координат. Особенно выгодны лагранжевы координаты для задач в слоистых средах, потому что они позволяют легко следить за границами раздела различных сред.

Большинство одномерных задач относится ко второму типу (в многомерном случае это не так). Поэтому здесь мы рассмотрим только уравнения газодинамики в лагранжевых координатах.

Сначала запишем их в такой форме, когда производная по времени лагранжева, а пространственные координаты — обычные:

здесь — плотность, — скорость, — давление и в — внутренняя энергия единицы массы, зависимость которой от давления и плотности считается известной.

Уравнение (48) выражает закон сохранения импульса и во всех численных расчетах используется именно в такой форме. Уравнение изменения энергии (49) обычно удобнее преобразовать. Если подставить в него , определенную из уравнения (47), то получим особенно простую форму записи:

Если умножить уравнение (48) на о и прибавить к уравнению (49), то получим другую форму — закон сохранения полной энергии:

Уравнение неразрывности (47) выражает закон сохранения массы. Его тоже обычно преобразуют, но уже после приведения уравнений к одномерной записи.

В том, что указанные уравнения являются законами сохранения, нетрудно убедиться. Например, проинтегрируем (506) по объему занятому некоторой массой вещества, второй интеграл преобразуем к поверхностному, а в первом интеграле заменим на после чего производную по времени можно вынести за знак интеграла. Тогда получим

Здесь первый интеграл есть полная (внутренняя и кинетическая) энергия данной массы газа; второй равен работе в единицу времени сил давления на поверхности, ограничивающей данную массу газа. Действительно, это закон сохранения энергии.

Одномерные задачи бывают трех типов: с плоской, цилиндрической или сферической симметрией. Введем показатель симметрии v, равный для этих случаев соответственно 0, 1 или 2. Масса слоя толщиной в этих случаях равна (рис. 97)

(51)

с точностью до численного множителя, равного или

При помощи соотношения (51) введем массовую координату данной материальной точки:

По закону сохранения вещества массовая координата материальной точки не меняется со временем; поэтому такая координата позволяет легко следить за каждой частицей вещества и, в частности, за границей раздела слоев.

Рис. 97.

Преобразуем уравнения газодинамики в одномерном случае к лагранжевой форме.

В качестве первого уравнения возьмем определение скорости:

Уравнение неразрывности (47), выражающее закон сохранения массы, заменим имеющим тот же смысл соотношением (51), записывая следующим образом:

В уравнениях импульса (48) и энергии (506) перейдем к производной по массовой координате, то есть в одномерных выражениях

заменим на при помощи соотношения (51), и получим

Уравнение энергии можно взять также в форме (50а):

Система (53)-(56) является лагранжевой формой записи уравнений одномерной газодинамики. В большинстве численных расчетов используется эта именно форма.