2. Метод линеаризации.

Запишем задачу на собственные значения (1) через компоненты собственного вектора:

Задачу (69) можно рассматривать как систему уравнений с неизвестным ; эта система нелинейна благодаря наличию членов Для решения нелинейрой системы целесообразно применить метод Ньютона. Давая всем переменным малые приращения и линеаризуя уравнения (69) относительно приращений, получим

(70)

здесь индекс s обозначает номер итерации.

Система (70) содержит уравнений, линейных относительно неизвестных приращений. Этих неизвестных но поскольку собственный вектор определен с точностью до множителя, то, не нарушая общности, можно положить или или . После этого число уравнений будет равно числу неизвестных приращений.

Напомним, что ньютоновский процесс вблизи решения сходится квадратично. Число итераций зависит от выбора нулевого приближения. При удачном приближении достаточно 3—5 итераций. А если за 10 итераций процесс не сошелся, то скорее всего он не сойдется, и надо изменить нулевое приближение. Заметим, что при неудачном нулевом приближении процесс иногда сходится не к искомому собственному значению, а к другому.

Матрица линейной системы (70) отличается от матрицы А по структуре мало только добавлением одного ненулевого столбца. Поэтому для матрицы А общего вида на одну итерацию требуется арифметических действий, для почти треугольной матрицы — всего действий, а для ленточной матрицы даже действий (где — ширина ленты).

Метод линеаризации успешно применяется к матрицам порядка . Он особенно выгоден для трехдиагональных матриц; для них получение одного собственного значения и. собственного вектора требует обычно арифметических действий.