ПРИЛОЖЕНИЕ. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ
Общие соотношения. Многочлены
называются ортогональными: с весом
на отрезке
, если они удовлетворяют следующим соотношениям:

по традиции наиболее употребительные многочлены нормируют не на единицу. Все корни ортогональных многочленов вещественные, простые и расположены на интервале (а, b); между каждой парой соседних корней многочлена
расположен один и только один корень многочлена 
Дальше ограничимся только так называемыми классическими ортогональными многочленами Якоби (и их частными случаями — многочленами Лежандра и Чебышева), Лагерра и Эрмита. Они удовлетворяют дифференциальному уравнению

Их удобно вычислять либо по обобщенной формуле Родрига

либо, зная два первых многочлена, при помощи рекуррентных соотношений

Конкретный вид всех встречающихся в этих формулах функций и значения констант приведены в таблице 26.
Далее приведены некоторые многочлены с небольшими индексами
, их корни и соответствующие им веса
формулы Гаусса — Кристоффеля.
Многочлены Лежандра.
;

Таблица 26. Ортогональные многочлены
(см. скан)

Многочлены Лагерра (а = 0). 

Многочлены Эрмита.
;

Многочлены Чебышева первого рода.

Многочлены Чебышева второго рода.

Многочлены на системе точек.
Многочлены
называют ортонормированными на системе точек X; с весами
, если они удовлетворяют соотношениям

Систему таких многочленов можно построить, пользуясь рекуррентным соотношением

где

а
определяется из условия нормировки. Для начала расчета по этим формулам надо положить
