ПРИЛОЖЕНИЕ. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ

Общие соотношения. Многочлены называются ортогональными: с весом на отрезке , если они удовлетворяют следующим соотношениям:

по традиции наиболее употребительные многочлены нормируют не на единицу. Все корни ортогональных многочленов вещественные, простые и расположены на интервале (а, b); между каждой парой соседних корней многочлена расположен один и только один корень многочлена

Дальше ограничимся только так называемыми классическими ортогональными многочленами Якоби (и их частными случаями — многочленами Лежандра и Чебышева), Лагерра и Эрмита. Они удовлетворяют дифференциальному уравнению

Их удобно вычислять либо по обобщенной формуле Родрига

либо, зная два первых многочлена, при помощи рекуррентных соотношений

Конкретный вид всех встречающихся в этих формулах функций и значения констант приведены в таблице 26.

Далее приведены некоторые многочлены с небольшими индексами , их корни и соответствующие им веса формулы Гаусса — Кристоффеля.

Многочлены Лежандра. ;

Таблица 26. Ортогональные многочлены

(см. скан)

Многочлены Лагерра (а = 0).

Многочлены Эрмита. ;

Многочлены Чебышева первого рода.

Многочлены Чебышева второго рода.

Многочлены на системе точек.

Многочлены называют ортонормированными на системе точек X; с весами , если они удовлетворяют соотношениям

Систему таких многочленов можно построить, пользуясь рекуррентным соотношением

где

а определяется из условия нормировки. Для начала расчета по этим формулам надо положить