3. Формула Симпсона.

Вычислим интеграл по обобщенной формуле трапеций сначала на равномерной сетке с шагом h, а затем на сетке с вдвое более крупным шагом; вторая сетка получается из первой выбрасыванием узлов через один. Из вида остаточного члена (8) следует, что результат, полученный по формуле, трапеций, можно уточнять методом Рунге. Проводя такое уточнение для отрезка, содержащего узлы получим формулу Симпсона

Обобщенная формула Симпсона для равномерной сетки и четного числа шагов N имеет вид

Для квазиравномерных или произвольных неравномерных суток формул такого типа не составляют.

Исключение главного члена погрешности формулы трапеций означает, что мы перешли к аппроксимации параболой, и формула Симцсона точна для любого многочлена второй степени. Однако нетрудно проверить, что для эта формула также дает точный результат, т. е. она точна для многочлена третьей степени! Это объясняется тем, что на равномерной сетке остаточный член формулы трапеций разлагается только по четным степеням шага и однократное применение метода Рунге увеличивает порядок точности на два.

Как и для формулы трапеций, погрешность формулы Симпсона вычисляется подстановкой разложения (5), в котором теперь надо удержать большее число членов и для каждой пары интервалов за центр разложения взять узел . Из предыдущего рассуждения видно, что главный вклад в погрешность дает только пятый член разложения

Подставляя этот член в выражение суммарной погрешности двух соседних интервалов, легко найдем

После суммирования парам соседних интервалов получим

т. е. формула Симпслна имеет четвертый порядок точности, а численный коэффициент в остаточном члене очень мал. Благодаря этим обстоятельствам формула Симпсона обычно дает хорошую точность при сравнительно небольшом числе узлов (если четвертая производная функции не слишком велика).

Асимптотическая оценка (13) выведена в предположении существования непрерывной четвертой производной. Если кусочно-непрерывна, то справедлива только мажорантная оценка, аналогичная (9).

Пример. Вычислим интеграл . В таблице 9 приведены результаты вычислений по формулам трапеций и Симпсона при разных шагах. Вторая формула обеспечивает гораздо более высокую точность при том же шаге.

Таблица 9

Заметим, однако, что формулу Симпсона можно было вообще не гвводить.

Проведем расчеты по формуле трапеций на последовательности сгущающихся вдвое сеток и применим однократный процесс Рунге не к формуле, а непосредственно к найденному на каждой сетке значению интеграла. Результат будет тот же, что и при расчете по формуле Симпсона; попутно будет оценена фактическая погрешность формулы трапеций.

К самой формуле Симпсона, как следует из вида ее остаточного члена, тоже можно применять метод Рунге. Это эквивалентно применению рекуррентного процесса Рунге к формуле трапеций.