§ 4. Минимизация функционала

1. Задачи на минимум функционала.

Если каждой функции из некоторого множества функций Y сопоставлено число то говорят, что на множестве Y задан функционал. Задача минимизации функционала формулируется так: найти функцию , на которой функционал достигает своей точной нижней грани на этом множестве:

Иногда эту задачу называют минимизацией функционала по аргументу, а просто минимизацией называют нахождение числа когда не требуется определять функцию, минимизирующую этот функционал.

Не всякий функционал и не на всяком множестве имеет минимум. Например, решения задачи (53) не существует, если функционал не ограничен снизу на заданном множестве: решения может также не существовать, если множество не компактно в себе, или функционал разрывен и т. д. (хотя условия непрерывности или компактности не являются, вообще говоря, необходимыми). Но мы не исследуем постановки задач и дальше будем предполагать, что конкретные решаемые нами задачи типа (53) корректно поставлены.

Дадим несколько примеров задач на минимум функционала. Пусть требуется решить операторное уравнение

Составим функционал

Очевидно, он равен нулю при и положителен, если на сколь угодно малом, но конечном интервале Таким образом, найдя функцию на которой функционал (55) достигает своего абсолютного минимума, мы получим решение уравнения (54). Заметим, что этот функционал ограничен снизу на любом множестве функций и непрерывно зависит от Описанный способ решения операторных уравнений называется методом наименьших квадратов.

Если задача (54) некорректно поставлена (например, неустойчива по правой части), то наиболее употребительным общим методом регуляризации является замена исходной задачи на задачу минимизации функционала А. Н. Тихонова:

где так называемый стабилизатор — специально подобранный положительный функционал, обладающий свойствами нормы; он несколько напоминает штрафную функцию. В главе XIV будет показано, что для стабилизаторов типа

решение задачи (56) непрерывно зависит от причем при правильном подборе а оно одновременно достаточно близко в чебышевской норме к решению у уравнения (54).

Уравнение (54) может привести и к другим функционалам. Пусть оператор А аддитивен, положителен и симметричен, так что при , где под скалярным произведением подразумевается интеграл от произведения функций. Рассмотрим функционал

где

Покажем, что задача на минимум этого функционала эквивалентна задаче решения операторного уравнения (54).

В самом деле, запишем произвольную функцию в следующем виде:

Подставляя это выражение в правую часть формулы (58), получим

Если есть решение уравнения (54), то второе слагаемое в правой части (60) обращается в нуль; последний же член в правой части неотрицателен благодаря положительности оператора . Значит, т. е. функционал (58) достигает минимума на решении операторного уравнения (54).

Наоборот, если у в представлении (59) есть функция, на которой функционал (58) достигает минимума, то первая вариация функционала на этой функции равна нулю. Следовательно, каково бы ни было Применяя это условие к (60) и одновременно полагая , получим

что выполняется только при . Это означает, что функция, на которой функционал (58) достигает минимума, является решением операторного уравнения (54). Утверждение доказано.

Классическим примером применения описанного приема является краевая задача

Интегрированием по частям легко убедиться в симметричности и положительности дифференциального оператора и получить следующее выражение для функционала (58):

Отметим, что оператор А включает в себя не только дифференциальное (или интегральное) уравнение, но также краевые условия, если последние имеются. Краевые условия должны некоторым образом войти в функционал, соответственно изменив его вид. Например, для задачи на ограниченном отрезке с краевыми условиями третьего рода

надо минимизировать в классе достаточно гладких функций функционал

От функций, минимизирующих этот функционал, уже не надо требовать удовлетворения краевым условиям они автоматически будут им удовлетворять.

В теоретической физике встречаются функционалы более сложные, чем квадратичные. Например, в статистической модели атома Томаса—Ферми при температуре абсолютного нуля энергия выражается через электронную плотность следующим образом:

Поскольку при нулевой температуре и заданном объеме энергия минимальна, то нахождение электронной плотности сводится к задаче на условный экстремум для этого функционала (дополнительное условие заключается в том, что полное число электронов равно заряду ядра).

К еще более сложным функционалам приводят задачи оптимального управления, в которых ищется минимум функционала причем функция является решением задачи Коши для дифференциального уравнения Требуется найти такую управляющую функцию при которой заданный функционал минимален. К задачам оптимального управления относится, например, определение оптимального режима расхода горючего при запуске ракеты, приводящего к максимальной высоте подъема Ф при заданном начальном количестве горючего.