2. Вариационный метод регуляризации.

Рассмотрим уравнение Фредгольма первого рода (33). Будем считать, что его ядро непрерывно и таково, что в случае уравнение имеет только тривиальное решение и Тогда при любой правой части решение либо единственное, либо не существует; тем самым, интегральный оператор

отображает U в F взаимно однозначно.

Исходную задачу (33) можно записать в вариационной форме:

где оператор А определен формулой (40). Рассмотрим измененную задачу:

где так называемый тихоновский стабилизатор порядка равен

а весовые функции непрерывны и неотрицательны, причем

Введем в множестве функций U норму полученное пространство называют пространством Соболева Множество правых частей F будем считать гильбертовым пространством. Докажем методами функционального анализа, что алгоритм (42) является регуляризирующим (другое доказательство см. в п. 3).

Теорема 1. Задача (42) имеет решение при любых и

Доказательство. При функционал ограничен снизу. Тем самым, при данных а и он имеет точную нижнюю грань. Выберем некоторую минимизирующую последовательность так, что

Упорядочим эту последовательность так, чтобы не возрастали. Тогда

(43)

Таким образом, последовательность принадлежит множеству для которых . Такое множество является компактом в U. Поэтому из последовательности можно выделить подпоследовательность , сходящуюся по норме к некоторой . В силу непрерывности функционал на этой функции достигает своей точной нижней грани. Тем самым, есть решение задачи (42), что доказывает теорему.

Теорема 2. Алгоритм (42) является регуляризирующим для задачи (41).

Доказательство. Используем следующие обозначения: — решение исходной задачи (41) с правой частью — решение измененной задачи (42) с приближенной правой частью введем также функцию .

Поскольку функционал достигает минимума на то . Отсюда, используя определение функционала (42а), получим

Пусть приближенные правые части удовлетворяют условию

(45)

Тогда из (44) следует

(46)

Значит, решения принадлежат компактному множеству функций из U. Заметим, что также принадлежит

Множество функций есть образ множества при отображении А. Интегральный оператор А непрерывен и таков (по предположению), что обратное отображение единственно. Поэтому обратное отображение в компактное множество при помощи нерегуляризованного оператора непрерывно в Следовательно, по заданному всегда найдется такое что если , то

Заметим, что

Отсюда с учетом (45) следует

Выберем а так, чтобы выполнялось

Тогда правая часть неравенства (47) будет меньше откуда следует

Таким образом, по заданному нашлись такое и такое , что если , то , что и требовалось доказать.

Следствие. Задача (42) корректно поставлена.

В самом деле, подставим в теорему 2 всюду вместо А регуляризирующий алгоритм (42). Тогда малость означает, что регуляризованное решение непрерывно зависит от

Замечание 1. Теоремы 1 и 2 справедливы не только для линейных интегральных операторов (40), но вообще для непрерывного оператора А, при котором решение задачи единственно (если существует). Соответственно от стабилизатора Q достаточно требовать, чтобы множество функций и, для которых , было компактно в

Замечание 2. Сходимость в пространстве означает, что производная сходится среднеквадратично, а сама функция и ее производные вплоть до — равномерно.

Таким образом, использование стабилизатора (426) обеспечивает слабую регуляризацию при сильную при порядка гладкости при .

Выбор а. В ряде прикладных задач известно, что правая часть имеет характерную погрешность Если при этом выбрать а настолько малым, что нарушится критерий (45), то устойчивость расчета станет недостаточной, так что регуляризованное решение будет заметно «разболтанным». Если а настолько велико, что не соблюден критерий (48), то регуляризованное решение чрезмерно сглажено, что также нежелательно; например, если точное решение а имеет узкие максимумы (типа резонансных пиков в физических задачах), то у они могут отсутствовать или иметь существенно меньшую высоту.

Вдобавок непосредственно проверить выполнение критериев (45) и (48) не удается, поскольку функция неизвестна вообще говоря, зависит от С и Поэтому оптимальный выбор параметра регуляризации а является сложной проблемой.

Обычно на практике проводят расчеты с несколькими значениями параметра, составляющими геометрическую прогрессию (например, ). Из полученных результатов выбирают наилучший либо визуальным контролем, либо по какому-нибудь правдоподобному критерию.

Примером такого критерия является требование, чтобы невязка, полученная при подстановке найденного в исходное уравнение, была сравнима с погрешностью правой части:

Очевидно, воспроизводить правую часть с точностью много выше бессмысленно; поэтому, если в расчете получено то следует увеличить а. Наоборот, погрешность много больше недопустима, так что если то надо уменьшить а.

Визуальный контроль заключается в том, что выбирают наименьшее значение а, при котором еще не наблюдается заметной «разболтки» регуляризованного решения

Выбор При чрезмерно большом регуляризованное решение сильно сглаживается. Значение обеспечивает лишь среднеквадратичную сходимость . Поэтому наиболее часто используют

Помимо вариационного способа регуляризации существует ряд других: метод подбора, метод квазиобращения, методы с использованием преобразований Лапласа и Меллина и т. д. Они рассмотрены в [39] и цитированных там работах.