§ 4. Частичная проблема собственных значений

1. Особенности проблемы.

Во многих задачах интересны не все собственные значения, а только небольшая их часть.

Матрицы очень высоких порядков обычно получаются при конечно-разностном решении задач на собственные значения для дифференциальных уравнений. В этом случае достаточно вычислить только несколько низших собственных значений, соответствующих малому числу нулей собственной функции (а высокие собственные значения матрицы все равно плохо аппроксимируют соответствующие собственные значения дифференциального оператора в силу свойств конечно-разностных методов). В задачах диффузии нейтронов имеют физический смысл только одно или два собственных значения, и т. д.

В этих случаях решать полную проблему собственных значений невыгодно. Обычно применяют итерационные процессы, сходящиеся к одному собственному значению и собственному вектору. Большинство этих процессов для особенно важных на практике ленточных матриц записывается очень экономно.

Для описанных ниже процессов нужно задавать нулевое приближение. Если оно удачно выбрано, то число итераций заметно уменьшается. Зачастую хорошее нулевое приближение можно получить из физических соображений.