5. Метод энергетических неравенств.

Метод основан на использовании энергетических норм, порождаемых самими разностными операторами. При его помощи доказана устойчивость и даны априорные оценки точности многих разностных схем с переменными коэффициентами, некоторых квазилинейных схем и т. д.

Рассмотрим идею метода на примере стационарной (не содержащей времени) разностной схемы

где разностный оператор —линейный, самосопряженный и положительный. В этом случае существует обратный оператор который тоже является линейным, самосопряженным и положительным.

При помощи положительного оператора можно ввести норму

(64)

где — скалярное произведение на сетке; аналогично строится норма называемая негативной. Проделаем цепочку преобразований:

Отсюда вытекает соотношение , которое означает устойчивость по правой части.

Пусть, например, оператор является второй разностью, т. е. аналогом и ее производные достаточно быстро убывают при . Тогда непрерывный аналог нормы (64) есть (сеточное выражение не так наглядно, и мы его не приводим)

как отмечалось в п. 2, эта норма сильней, чем Оператор в этом случае является двойной суммой — аналогом двойного интеграла, и порожденная им норма равна

Это слабая норма. Из приведенных рассуждений видно, что метод энергетических неравенств для ряда задач позволяет доказывать устойчивость при использовании сильных норм для решения у и слабых норм для правой части

Для конкретной реализации этого метода надо проверить, обладает ли оператор А требуемыми свойствами, определить скалярное произведение на сетке, построить сеточный оператор и проверить аппроксимацию в . Все эти действия связаны обычно с громоздкими вычислениями.