2. Простейшие формулы.

Чаще всего используются равномерные сетки, на которых вид формул (1) заметно упрощается, а точность нередко повышается.

Рассмотрим сначала причину повышения точности. Остаточный член общей формулы (1) есть многочлен степени относительно . Если равен корню этогомногочлена, то главный остаточный член обращается в нуль, - т. е. в этой точке формула имеет порядок точности на единицу больше, чем согласно оценке (4). Эти точки повышенной точности будем обозначать где — порядок производной, a — число оставленных в формуле (1) членов. Очевидно, -членная формула имеет точек повышенной точности.

У одночленной формулы (2) для производной точка повышенной точности на произвольной сетке определяется условием , что дает

в этой точке одночленная формула имеет погрешность вместо обычной . Для двучленной формулы задача нахождения точек повышенной точности приводит к квадратному уравнению, корни которого действительны, но формула для их нахождения громоздка (см. задачу 2).

Если то найти точки повышенной точности очень сложно, за исключением одцого частного случая, который мы сейчас рассмотрим.

Пусть нечетно, а узлы в формуле (1) выбраны так, что они расположены симметрично относительно точки тогда является одной из точек повышенной точности

Доказательство. В самом деле, при этом величины имеют попарно равные абсолютные величины, но противоположные знаки. В остаточном члене множитель имеет нечетную степень, и при одновременном изменении знаков всех h он должен изменить знак. Но поскольку одновременное изменение знаков сводится при таком расположении узлов лишь к перемене их нумерации, то величина w должна сохраниться, что возможно только при Утверждение доказано.

Замечание 1. Доказательство справедливо для неравномерной сетки.

Замечание 2. Число узлов предполагалось произвольным; очевидйо, симметричное расположение узлов относительно точки означает, что при нечетном числе узлов точка совпадает с центральным узлом, а при четном — лежит между средними узлами.

Замечание 3. Повышение точности достигается не только в самих точках повышенной точности, но и в достаточно малой их окрестности, где изменение производной не превышает погрешности формулы; для точки это окрестность размером для и т. д.

На произвольной сетке условие симметрии реализуется только в исключительных случаях. Но если сетка равномерна, то каждый ее узел симметрично окружен соседними узлами. Это позволяет составить несложные формулы хорошей точности для вычисления производных в узлах сетки.

Например, возьмем три соседних узла и вычислим первую и вторую производные в среднем узле. Выражая в одночленных формулах (2) разделенные разности через узловые значения функции, легко получим

(6)

Формулу (6) часто записывают в несколько ином виде, удобном для определения производной в средней точке интервала сетки:

Аналогично можно вывести формулы более высокого порядка точности или для более высоких производных.

Например, трехчленная формула (1) для первой производной в середине интервала по четырем соседним узлам дает

а для второй производной в центральном узле по пяти узлам

Все формулы (6)-(10) имеют четный порядок точности. Заметим, что все эти формулы написаны для случая равномерной сетки; применение их на произвольной неравномерной сетке для первой производной приводит к низкой точности а для второй производной — к грубой ошибке.

На равномерной сетке для априорной оценки точности формул часто применяют способ разложения по формуле Тейлора — Маклорена. Предположим, например, что функция у(х) имеет непрерывную четвертую производную, и выразим значения функции в узлах через значения функции и ее производных в центре симметрий узлов (в данном случае этим центром является узел ):

где есть некоторая точка интервала есть некоторая точка интервала Подставляя эти разложения во вторую разность, стоящую в правой части формулы (7) для второй производной, получим

Это подтверждает ранее сделанную оценку и уточняет величину остаточного члена, который оказался равным Такой способ получения остаточного члена проще, чем непосредственное вычисление по формуле (1). Особенно часто он применяется при исследовании аппроксимации разностных схем (см. главу IX).