5. Несобственные интегралы.

Для интегралов с бесконечными пределами есть несколько приемов вычисления.

Прием -введение такой замены переменных, чтобы превратить пределы интегрирования в конечные. Например, для интеграла

замена превращает полупрямую в отрезок

Если после преобразования подынтегральная функция вместе с некоторым числом производных остается ограниченной, то можно находить интеграл стандартными численными методами.

Прием 2 — обрезание верхнего предела. Выберем настолько большое b, чтобы

был меньше допустимой ошибки вычислений. Тогда его можно отбросить, а

вычислить по квадратурной формуле. Вблизи верхнего предела подынтегральная функция мала, поэтому вычисление выгодно вести на квазиравномерных сетках, шаг которых велик при . Для уменьшения объема вычислений целесообразно приближенно вычислить отброшенную часть интеграла и учесть как поправку; это позволяет выбирать меньшее значение b.

Прием 3 — использование формул Гаусса — Кристоффеля. Из подынтегральной функции надо выделить положительный множитель, который можно рассматривать как вес для данных пределов интегрирования. Например, дадим способ вычисления интегральной экспоненты (2.50). Сдвигая нижний предел, приведем интеграл к форме

Рассматривая как весовую функцию и обозначая через нули многочленов Лагерра и соответствующие веса квадратурной формулы, получим

Это выражение можно использовать как аппроксимирующую формулу. Например, одному и двум узлам интегрирования соответствуют

Если первая из этих формул пригодна лишь при больших аргументах, то вторая дает удовлетворительную точность — 5%. уже при а при больших аргументах точность еще лучше.

Прием 4 — построение нелинейных квадратурных формул, применимых на бесконечном интервале. Например, формула (34) при допускает стремление к бесконечности, если остается конечным.

Для практического применения таких формул удобно ввести квазиравномерную сетку на , ибо ее последний интервал обладает требуемым свойством: его правая граница удалена в бесконечность, а середина остается конечной. Кроме того, на квазиравномерных сетках можно уточнять результат методом Рунге — Ромберга.

Если пределы интегрирования конечны, значит, обращается в бесконечность в каких-то точках отрезка . Будем считать, что вблизи особой точки , где случай —1, когда интеграл существует в смысле главного значения, надо разбирать отдельно. Особые точки разбивают отрезок на части. Рассмотрим приемы вычисления интеграла по отдельному отрезку, у которого особыми точками являются только одна или обе границы.

Прием 1 — аддитивное выделение особенности. Постараемся разбить подынтегральную функцию на сумму . где -ограниченная функция, а интегрируется аналитическими методами. Тогда вычисляем точно, а находим обычными численными методами. Заметим, что обычно разбиение на сумму делается выделением особенности в наиболее простом виде. Например, если , а интеграл вычисляется от точки , то основная особенность имеет вид если положить , то полученная функция будет ограничена, что и требуется.

Прием 2 — мультипликативное выделение особенности. Представим подынтегральную функцию в виде , где ограничена, а положительна и интегрируема на отрезке. Тогда можно рассматривать как весовую функцию и применять квадратурные формулы Гаусса — Кристоффеля. Если на обоих концах отрезка функция имеет особенности степенного вида, То узлами интегрирования будут нули многочленов Якоби. Например,

Здесь использовались многочлены Чебышева первого рода (см. Приложение).

Прием 3 — построение нестандартных квадратурных формул, явно учитывающих характер особенности. Так, для приведенного выше интеграла (40) на отдельном интервале сетки можно аппроксимировать подынтегральную функцию выражением поскольку числитель — медленно меняющаяся гладкая функция и основная особенность связана со знаменателем.

Эта аппроксимация легко интегрируется и приводит к квадратурной формуле

По погрешности аппроксимации подынтегральной функции можно заключить, что остаточный член этой формулы на произвольной сетке не превышает На специальной сетке эта формула еще более точна, ибо при этом она переходит в квадратурную формулу Гаусса — Кристоффеля (40), но это уже случайное обстоятельство. Обычно хорошо составленная нестандартная формула имеет один и тот же порядок точности на равномерных и неравномерных сетках.