ГЛАВА X. УРАВНЕНИЕ ПЕРЕНОСА

В главе X рассмотрены основные разностные схемы для простейшего уравнения в частных производных — уравнения переноса. В § 1 построены схемы бегущего счета для линейного уравнения переноса, как одномерного, так и многомерного. На их примере дана геометрическая интерпретация устойчивости разностных схем и введены понятия монотонности, аппроксимационной вязкости и первого дифференциального приближения разностных схем, полезные при качественном анализе разностных решений.

В § 2 рассмотрено простейшее квазилинейное уравнение переноса и исследованы качественные особенности его решений. Введено понятие консервативности разностных схем и изложен метод псевдовязкости; на их основе построены схемы для решения данной задачи.

§ 1. Линейное уравнение

1. Задачи и решения.

Существует много задач о распространении частиц в веществе: определение нейтронных потоков в реакторе, теплопроводности в газах, обусловленной диффузией атомов и электронов, и т. д. Такие задачи приводят к уравнению переноса, которое может быть интегро-дифференциальным. Например, основное уравнение кинетической теории газов — уравнение Больцмана имеет следующий вид:

Здесь — функция распределения сорта частиц; она зависит от времени, координаты и скорости частицы. Интегральный член в (1) описывает столкновения частиц.

Решение нелинейных интегро-дифференциальных уравнений типа (1) очень сложно и выходит за пределы нашего курса. Мы ограничимся изучением только линейного дифференциального уравнения переноса:

где с — вектор скорости переноса.

Как будет видно в дальнейшем, для этого уравнения многомерность не вносит принципиальных осложнений. Все основные идеи можно пояснить на одномерном уравнении

где скорость с будем считать постоянной, если специально не оговорено противное.

Если в уравнении (3) правая часть , то общее решение этого уравнения имеет вид бегущей волны:

(отсюда видно, что с есть скорость переноса). Для определенности положим тогда волна бежит слева направо. Вид решения (4) подсказывает, как можно корректно поставить полную задачу для уравнения (3).

Рис. 55.

Смешанная задача Коши. Зададим начальные и граничные данные на отрезках, показанных на рис. 55 жирными линиями:

Тогда решение задачи (3), (5) однозначно определено в области Если начальные и граничные данные непрерывны вместе со своими производными, причем выполнены условия согласования в точке стыка кусков границы (для случая ) они имеют следующий вид:

непрерывна вместе с производными, то решение и ) непрерывно в G вместе с производными.

Задача Коши. Зададим начальные данные на полубесконечной прямой: при . Тогда решение однозначно определено в области Гладкость решения соответствует гладкости начальных данных и правой части

Характеристики уравнения (3) имеют вид и при постоянной скорости с являются прямыми линиями. Решение (4) однородного уравнения (3) постоянно вдоль такой линии; поэтому говорят, что начальные и граничные условия переносятся по характеристикам.

Решение неоднородного уравнения (3) меняется вдоль характеристик. Это изменение легко найти, если перейти к новым координатам, связанным с характеристиками:

При их помощи уравнение (3) преобразуется к виду

Следовательно, вдоль характеристики решение и можно найти, интегрируя по обыкновенное дифференциальное уравнение (8), в котором играет роль параметра. Так можно определить решение в любой точке области G, поскольку при характеристики покрывают всю область.

Этот способ построения точного решения легко обобщается на уравнение с переменным коэффициентом Он показывает, что для корректной постановки задачи необходимо, чтобы через любую точку области G проходила одна и только одна характеристика. Это выполняется, если функция непрерывна во всей области ,

Сохранение монотонности является важным свойством однородного уравнения переноса. Если для него поставлена задача Коши с монотонными начальными данными и «с а, то в любой момент t профиль и тоже будет монотонным. Монотонность сохраняется и в смешанной задаче Коши, если граничное значение и (0, t) тоже монотонно зависит от t и согласовано с начальными данными.

В уравнении переноса монотонность является тривиальным следствием из вида общего решения (4). Однако во многих уравнениях начальная монотонность решения сохраняется, хотя общее решение не имеет вида одной бегущей волны. При определенных условиях это имеет место даже в задачах теплопроводности и газодинамики. Поэтому монотонность — достаточно общее и важное свойство многих уравнений.