§ 3. Системы нелинейных уравнений

1. Метод простых итераций.

Систему нелинейных уравнений можно кратко записать в векторном виде

или более подробно в координатном виде

Такие системы решают практически только итерационными методами. Нулевое приближение в случае двух переменных можно найти графически: построить на плоскости кривые и найти точки их пересечения. Для трех и более переменных (а также для комплексных корней) удовлетворительных способов подбора нулевых приближений нет.

Рассмотрим метод, простых итераций, называемый также методом последовательных приближений.

Аналогично одномерному случаю, заменим нелинейную систему (43) эквивалентной системой специального вида Выберем некоторое нулевое приближение и дальнейшие приближения найдем по формулам

или

Если итерации сходятся, то они сходятся к решению уравнения (предполагается, что решение существует).

Сходимость итераций исследуем так же, как для одной переменной. Обозначим компоненты решения через и преобразуем погрешность очередной итерации

где — направление, соединяющее многомерные точки и , а — некоторая точка, лежащая между ними на этом направлении. Это равенство означает, что вектор погрешности нового приближения равен матрице производных, умноженной на вектор погрешности предыдущего приближения. Если какая-нибудь норма матрицы производных согласованная с некоторой нормой вектора, меньше единицы, то норма погрешности убывает от итерации к итерации по геометрической прогрессии. Это означает линейную сходимость метода.

На практике удобней рассматривать матрицу с элементами . Нормы этой матрицы мажорируют соответствующие нормы матрицы производных, поэтому достаточным условием сходимости является . При использовании разных норм матриц это условие принимает такие формы:

Каждая норма матрицы согласована с определенной нормой вектора, но в конечномерном пространстве все нормы эквивалентны. Значит, если итерации сходятся в одной норме, то они сходятся и во всех остальных нормах.

Поскольку сходимость линейная, то оканчивать итерации можно по критерию сходимости (26), выполнение которого надо проверять для каждой компоненты. Линейная сходимость довольно медленна; поэтому полезно уточнять результат процессом Эйткена по трем последним итерациям.

Сами вычисления в методе последовательных приближений просты. Но зато сложно найти такую систему которая была бы эквивалентна исходной системе и одновременно обеспечивала бы сходимость.

Сходимость метода нередко удается улучшить. В методе простых итераций найденное приближение хиспользуется только для вычисления следующей итерации. Можно использовать его уже на данной итерации для вычисления следующих компонент:

Сходимость этого варианта метода тоже линейная; детально ее исследовать не будем. При ручных расчетах можно еще ускорить сходимость за счет перестановок отдельных уравнений на основе анализа их невязок но для расчетов на ЭВМ это неудобно, ибо обычно такой анализ полуинтуитивен и плохо алгоритмизируется.