Научная библиотека

2. Последовательное интегрирование.

Снова рассмотрим интеграл по прямоугольнику, разбитому сеткой на ячейки (рис. 18). Его можно вычислить последовательным интегрированием

Каждый однократный интеграл легко вычисляется на данной сетке по квадратурным формулам типа (3). Последовательное интегрирование по обоим направлениям приводит к кубатурным формулам, которые являются прямым произведением одномерных квадратурных формул

или

Например, если по каждому направлению выбрана обобщенная формула трапеций, а сетка равномерная, то веса кубатурной формулы равны соответственно для внутренних, граничных и угловых узлов сетки. Легко показать, что для дважды непрерывно дифференцируемых функций эта формула имеет второй порядок точности и к ней применим метод Рунге — Ромберга.

Вообще говоря, для разных направлений можно использовать квадратурные формулы разных порядков точности и q. Тогда главный член погрешности имеет вид Это надо учитывать в методе Рунге: при сгущении сеток надо сохранять отношение постоянным, чтобы закон убывания погрешности был известным. Многократно сгущать сетку при этом условии нелегко, если , поэтому желательно для всех направлений использовать квадратурные формулы одинакового порядка точности.

Можно подобрать веса и положение линий сетки так, чтобы каждая одномерная квадратурная формула была точна для многочлена максимальной степени, т. е. была бы формулой Гаусса; тогда

где — нули многочленов Лежандра и соответствующие веса. Эти формулы рассчитаны на функции высокой гладкости и дают для них большую экономию в числе узлов по сравнению с более простыми формулами. Например, для измерений кубатурная формула Симпсона с узлами и формула (48)-(49) с узлами дают примерно одинаковую точность, хотя формула Гаусса при имеет вдвое меньше узлов, а при — втрое меньше, чем кубатурная формула Симпсона.

Рис. 20.

Произвольная область. Метод последовательного интегрирования можно применять к области произвольной формы, например, с криволинейной границей. Для этого проведем через область хорды, параллельные оси и на них введем узлы, расположенные на каждой хорде так, как нам требуется (рис. 20). Представим интеграл в виде

Сначала вычислим интеграл по вдоль каждой хорды по какой-нибудь одномерной квадратурной формуле, используя введенные узлы. Затем вычислим интеграл по у, здесь узлами будут служить проекции хорд на ось ординат.

При вычислении интеграла по у имеется одна тонкость. Если область ограничена гладкой кривой, то при а Длина хорды стремится к нулю не линейно, а как ; значит, вблизи этой точки . То же будет при Поэтому интегрировать непосредственно по формулам высокого порядка точности бессмысленно. Целесообразно выделить из основную особенность в виде веса , которому соответствуют ортогональные многочлены Чебышева второго рода (см. Приложение).

Тогда второе интегрирование выполняется по формулам Гаусса — Кристоффеля

где — нули ивеса многочленов Чебышева второго рода. Чтобы можно было применять эту формулу, надо ординаты хорд на рис. 20 заранее выбрать в соответствии с узлами (50). Если это не было сделано, то придется ограничиться интегрированием по обобщенной формуле трапеций, причем ее эффективный порядок точности в этом случае будет ниже второго (см. пример в § 1, п. 6).

Кроме методов ячеек и последовательного интегрирования есть другие методы, в которых используется кубатурная формула вида

Можно поставить задачу — найти оптимальные узлы и веса, т. е. дающие минимальную погрешность на заданном классе функций. Частный случай этой задачи — нахождение весов и узлов, при которых формула точна для многомерного многочлена максимальнойстепеми.

Оптимальные узлы и веса удается найти только для областей наиболее простой формы, таких как квадрат, круг, сфера. Зато их использование заметно, уменьшает объем расчетов. Это хорошо видно из таблицы 15, в клетках которой приведены минимальные числа узлов, при которых -мерная кубатурная формула может быть точна для многочлена степени при последовательном интегрировании по формулам Гаусса и при использовании оптимальных -мерных коэффициентов.

Таблица 15