4. Метод разделения переменных.

Этот метод применяется для строгого обоснования многих линейных схем и нестрогого, но плодотворного исследования большинства нелинейных задач, возникающих в практике вычислений. При его помощи устанавливается устойчивость в .

Рассмотрим применение метода к линейным двуслойным схемам, записанным в канонической форме:

где В, А — некоторые разностные операторы, действующие на у (или у) как функцию пространственной переменной. Например, для явной схемы (18) имеем

При фиксированной правой части погрешность решения удовлетворяет однородному уравнению

Будем искать для этого уравнения частное решение с разделяющимися переменными

При этом так что есть множитель роста гармоники при переходе со слоя на слой.

Подставляя (57) в (56), получим уравнение для определения

Будем считать, что схема (55) имеет постоянные коэффициенты и задана на равномерной сетке. Тогда уравнение (58) после сокращения множителя не будет зависеть от координаты (или ее индекса ). Следовательно, величина не будет зависеть от или

Признак устойчивости. Схема (55) с постоянными коэффициентами устойчива по начальным данным, если для выполняется неравенство.

(59)

Доказательство. Система функций полна и ортогональна на равномерной сетке Разложим произвольную ошибку начальных данных в ряд Фурье по этой системе (см. гл. II, § 2, п. 4):

Поскольку для линейного уравнения (55) справедлив принцип суперпозиции, то метод разделения переменных дает для ошибки на слое следующее выражение:

Используя ортогональность гармоник, получаем отсюда

При помощи условия (59) преобразуем это неравенство к виду

что совпадает с признаком (48). Утверждение доказано.

Замечание 1. Из признака устойчивости (59) и дополнительного условия (54) следует устойчивость схемы по правой части в

Замечание 2. Фактически константа С в (59) не должна быть большой, иначе устойчивость будет слабой (см. п. 2). Поэтому при проверке этого признака обычно полагают

Признак неустойчивости. Если хотя бы для одного q величину нельзя мажорировать величиной то схема (55) неустойчиза.

Доказательство. Пусть в начальных данных имеется ошибка вида с данным q. Тогда к моменту она возрастет в раз, что по модулю больше величины ( при сколь угодно большом С. Неограниченный рост ошибки означает неустойчивость схемы.

Пример. Исследуем устойчивость явной схемы (18) для уравнения теплопроводности. Для этой схемы уравнение (58) принимает вид

Отсюда вытекает, что множитель роста

Тогда условие (59) с учетом замечания 2 приобретает вид — Это неравенство выполняется для любого q, только если

Таким образом, явная схема (18) условно устойчива.

Метод разделения переменных применим к многослойным линейным схемам с постоянными коэффициентами, в частности к схемам, аппроксимирующим задачи для дифференциальных уравнений второго порядка по времени (соответствующие примеры будут рассмотрены в главе XIII). Сейчас остановимся на двух нестрогих обобщениях этого метода.

Замораживание коэффициентов. Если линейное дифференциальное уравнение имеет переменные коэффициенты или используется неравномерная сетка, то задача сводится к линейной разностной схеме с переменными коэффициентами. В этом случае уравнение (58) содержит неустранимую зависимость от . Следовательно, множитель роста также зависит от и его нельзя считать постоянным для данной гармоники.

«Заморозим» коэффициенты схемы, т. е. возьмем в качестве постоянных коэффициентов значения коэффициентов схемы в некотором узле , и найдем из (58). Будем считать разностную схему устойчивой, если при любых q и выполняется признак (59).

Этот способ оказался очень эффективным приемом исследования устойчивости схем. В настоящее время он обоснован для многих классов параболических и эллиптических уравнений с гладкими коэффициентами (в ряде случаев достаточно непрерывности коэффициентов) и для некоторых узких классов гиперболических уравнений.

В практике вычислений для любых уравнений с гладкими коэффициентами и решениями критерии устойчивости, полученные этим способом, хорошо согласуются с результатами численных расчетов.

Однако способ «замороженных» коэффициентов применим не всегда. Для ряда задач с разрывными, недифференцируемыми и даже кусочно-гладкими коэффициентами построены примеры, в которых использование этого способа приводит к ошибочным заключениям.

Линеаризация. Сложные задачи математической физики приводят к нелинейным разностным схемам

где — нелинейные операторы, действующие на у и у как на функции пространственной переменной. Нарастание ошибок (пока эти ошибки малы) описывается линеаризованным уравнением

Обычно являются -мерными векторами; тогда является матрицей производных Устойчивость уравнения (62), линейного относительно ошибок, можно исследовать способом «замороженных» коэффициентов. Уравнение для множителя роста -й гармоники принимает вид

Способ линеаризации при исследовании многих сложных разностных схем (например, схем, возникающих в задачах газодинамики) дает критерии устойчивости, хорошо подтверждаемые практикой численных расчетов. Однако он не является строго обоснованным и в некоторых случаях может привести к неверным результатам.

Метод разделения переменных можно строго обобщить на многие классы линейных схем с переменными коэффициентами (на неравномерных сетках), а также применять его для доказательства устойчивости по краевым условиям. Для этого надо вместо гармоник использовать систему собственных функций разностной задачи

и соответствующие собственные значения Однако точно пайти спектр разностной схемы удается лишь в сравнительно простых случаях, так что исследовать этим методом устойчивость схем для сложных задач математической физики удается не часто.