5. Явная многомерная схема.

Волновое уравнение в -мерной изотропной среде (либо в неизотропной среде, если у тензора упругости отличны от нуля только диагональные компоненты) имеет вид

Рассмотрим задачу нахождения решения уравнения (35а) с начальными условиями и с краевыми условиями первого рода:

Обычно многомерные разностные схемы составляют непосредственно для задачи (35). В принципе, можно заменить уравнение (35а) системой уравнений первого порядка; однако это менее выгодно, чем в одномерном случае.

Схема «крест» строится аналогично одномерной схеме (2) на шаблоне, вид которого для двух измерений показан на рис. 96. При произвольном числе измерений эта схема для уравнения (35а) имеет вид

в случае переменных коэффициентов операторы выбираются аналогично наилучшей консервативной схеме (16).

Схема (36) — явная трехслойная; организация вычислений по ней одинаково проста при любом числе измерений. Нетрудно проверить, что она имеет аппроксимацию . Ее устойчивость можно исследовать методом разделения переменных, подставляя в (36) многомерную гармонику:

Учитывая, что

получим для множителя роста квадратное уравнение

Это уравнение аналогично одномерному уравнению (8); анализ его корней показывает, что схема (36) устойчива при выполнении условия

являющегося обобщением условия Куранта (9). Это естественное условие, а точность схемы неплохая. Поэтому схему «крест» используют в расчетах, если не требуется особенно высокой надежности («безавостности») вычислений.

Рис. 96

Таким образом, численный расчет многомерных задач акустики не вызывает принципиальных затруднений.