3. Уравнение Эйлера.

Учитывая явный вид (40) оператора А, перепишем задачу (42) следующим образом:

Составим для этой вариационной задачи уравнение Эйлера. Для этого приравняем нулю вариацию левой части по и :

Интегралы, стоящие под знаком суммы, вычислим последовательным интегрированием по частям:

Подставляя (52) в (51) и меняя порядок суммирования в двойной сумме по краевым вариациям, найдем

Полагая в этом выражении -функцию в качестве вариации , получим искомое уравнение Эйлера; оно будет интегро-дифференциальным:

с ядром и правой частью

и краевыми условиями

Заметим, что ядро определено на квадрате , симметрично и непрерывно, а правая часть непрерывна.

Формулировка задачи (42) в виде уравнения Эйлера (53) позволяет доказать, не пользуясь аппаратом функционального анализа, что построенный алгоритм является регуляризирующим; при этом для простоты будем полагать

Теорема 1. Задача (53) корректно поставлена при любом

Доказательство. Сначала рассмотрим простейший случай При этом исчезают все краевые условия (53в) и производные в уравнении (53а), и задача (53) превращается в интегральное уравнение Фредгольма второго рода:

с ядром и правой частью (536).

Пусть — собственные значения и собственные функции ядра Поскольку ядро имеет вид (536), то они удовлетворяют уравнению

Умножая обе части уравнения на и интегрируя, получим

Отсюда видно, что все собственные значения ядра положительны.

Поэтому, согласно теории интегральных уравнений Фредгольма (см. § 1, п. 1), при любом уравнение (54) имеет решение причем это решение единственно и непрерывно зависит от правой части и, тем самым, от Таким образом, при задача (53) и эквивалентная ей задача (42) корректны.

При задачу (53) также можно свести к интегральному уравнению. Построим функцию Грина для дифференциального оператора, стоящего в левой части (53а), при краевых условиях (53в). Рассматривая все интегральные члены в (53а) как правую часть дифференциального уравнения, выразим через них решение при помощи функции Грина:

Таким образом, удовлетворяет уравнению Фредгольма второго рода, причем его ядро имеет только положительные собственные значения. Следовательно, задача (53) корректна при любом , если что и требовалось доказать.

Замечание 1. Интегро-дифференциальное, уравнение (53а) содержит производные решения вплоть до порядка Поэтому имеет непрерывных производных.

Теорема 2. Пусть тогда при и положительном решение задачи (53), соответствующее - правой части равномерно сходится к

Доказательство. При решения задачи (53) с любой правой частью являются дважды непрерывно дифференцируемыми. Применяя неравенство Коши — Буняковского, найдем

Рассмотрим множество решений , соответствующих одной и той же правой части но разным значениям параметра Полагая в неравенстве (44), получим

Из неравенств (56) и (57) следует

что означает равностепенную непрерывность множества функций Кроме того, согласно определению функционала при

Из (59), (57) и (426) вытекает, что

т. е. функции равномерно ограничены.

Теперь предположим, что функции не сходятся равномерно к при , т. е. для некоторого найдется такая последовательность что

Построим на отрезке последовательностьсгущающихся вдвое сеток. Узлы этих сеток образуют счетное множество точек. Перенумеруем эти узлы, как указано на рис. 103. Тогда для отрезка этого множества, состоящего из первых N узлов, длина интервала между соседними узлами не превышает

Рис. 103.

Из последовательности ограниченных в совокупности функций можно выбрать подпоследовательность, сходящуюся в узле . Из этой подпоследовательности выберем подпоследовательность, сходящуюся в узле и т. д. В итоге построим подпоследовательность сходящуюся в каждом узле к некоторому пределу

Выберем сколь угодно малое и положим . Возьмем настолько малое чтобы при всех узлах с номерами выполнялось неравенство Интервал между соседними узлами настолько мал, что в силу (58) значения в соседних узлах будут различаться меньше, чем на Тогда значения в соседних узлах с номерами будут различаться меньше чем на е.

Отсюда, во-первых, следует, что функцию можно доопределить во всех точках отрезка так, что она будет непрерывной. Во-вторых, подпоследовательность равномерно сходится к доопределенной функции

Функции являются решением задачи (42) с правой частью Подставляя их в эту задачу и переходя к пределу при мы убеждаемся, что является решением этой задачи при т. е. решением задачи (41).

Поскольку решение последней задачи единственно, то , что противоречит сделанному в ходе доказательства предположению. Это противоречие доказывает теорему.

Теорема 3. Алгоритм (42) при обеспечивает сильную регуляризацию.

Доказательство. Пусть точной правой части соответствуют точное решение и регуляризованное решение , а приближенной правой части соответствует регуляризованное решение

Зададим сколь угодно малое . По теореме 2 найдется такое , что при .

Согласно теореме 1 задача (42) корректна, так что при любом заданном найдется такое , что если , то

Следовательно, если , то

Это соответствует определению сильной регуляризации (см. п. 1); теорема доказана.

Замечание 2. Поясним действие регуляризации простыми рассуждениями. Пусть правая часть получила возмущение тогда решение получит возмущение эти возмущения в (53а) и оценивая каждое слагаемое по порядку величины, получим

Рассмотрим поведение возмущений при больших частотах. Если то , т. е. возмущения решения велики, и расчет неустойчив. Регуляризации нет.

Если но то т. е. возмущения решения по порядку величины равны возмущениям правой части, и расчет становится устойчивым. Чем больше тем меньше возмущения решения и «разболтка» в численном расчете. Но сдвиги фаз отдельных гармоник приводят к тому, что сходимость будет только среднеквадратичной (слабая регуляризация).

Если то и возмущения решения для высоких частот малы. Значит, расчет хорошо устойчив и равномерно сходится к (сильная регуляризация). При амплитуды настолько быстро убывают при что обеспечивается равномерная сходимость не только регуляризованного решения, но и его производной.