2. Однородные схемы.

Выше встречались случаи, когда на недостаточно гладких решениях (т. е. имеющих малое число непрерывных производных) порядок аппроксимации и порядок точности разностной схемы был ниже, чем на более гладких решениях.

Особенно сильно ухудшается точность расчета, если искомое решение содержит сильные или слабые разрывы; некоторые разностные схемы при этом приводят даже к грубо ошибочным результатам.

Удовлетворительные результаты на таких решениях дают два типа схем — однородные схемы (которые не надо путать с линейными однородными схемами для линейных однородных уравнений) и схемы с явным выделением особенностей решения.

Однородные схемы (называемые также схемами сквозного счета) более просты и широко распространены в практике численных расчетов. В этих схемах шаблон и разностные аналоги производных выбираются так, чтобы нужная аппроксимация была обеспечена всюду, в том числе и на особенностях решения. Поэтому весь расчет ведется по однотипным разностным уравнениям без явного выделения особенностей.

Например, из рис. 68 видно, что схема (11) позволяет рассчитывать перенос разрывных начальных данных без явного выделения этого разрыва.

Однородные схемы не громоздки, требуют умеренного объема вычислений, и каждая хорошая схема пригодна для широкого класса задач. Программы для ЭВМ, составленные на их основе, также позволяют без заметных переделок рассчитывать широкий круг задач. Зато точность расчета по однородным схемам обычно ниже, чем в схемах с выделением особенностей.

По однородным схемам успешно проводят расчеты даже таких сложных задач, как задачи многомерной магнитной газодинамики, в которых возникает большое число ударных, тепловых и других волн, являющихся разрывами.

Схемы с выделением особенностей. В них каждую особенность решения выделяют и детально описывают. В промежутках между особенностями решение непрерывно и достаточно гладко; в этих промежутках дифференциальное уравнение аппроксимируют разностной схемой.

Уравнения, описывающие особенности, служат своеобразными внутренними краевыми условиями, связывающими между собой разностные уравнения в соседних промежутках.

Особенности решения могут быть связаны с разрывами или нарушением гладкости начальных данных и коэффициентов уравнения, с возникновением ударных волн, с образованием слабых разрывов при столкновении ударной волны с какой-либо особенностью решения. Число особенностей с течением времени может меняться. К каждому типу особенностей нужен индивидуальный подход. Очевидно, явно учесть все особенности можно только в наиболее простых задачах.

Схемы с выделением даже небольшого количества особенностей очень громоздки. Они нестандартны, т. е. каждый сравнительно узкий класс задач требует разработки своей схемы расчета. Но зато их точность существенно выше, чем точность прочих схем. Поэтому их используют в задачах, имеющих мало существенных особенностей и требующих особенно высокой точности расчета. Такие схемы мы рассматривать не будем.