5. Применения интерполяции.

Интерполяция применяется во многих задачах, а не только для вычисления табулированной функции при любых значениях аргумента.

При помощи разделенных разностей контролируется точность таблиц. Для этого составляют таблицы разделенных разностей различных порядков для соседних узлов и анализируют их поведение.

Например, в таблице 3 приведена зависимость коэффициента теплопроводности высокотемпературной фазы циркония от температуры. Там же вычислены первая и вторая конечные разности. Видно, что вторая разность меняется беспорядочно, так что интерполировать более чем по двум точкам бессмысленно. По величине второй разности можно сказать, что случайная погрешность составляет около единицы третьего знака в большинстве точек, но в двух первых она может доходить до единицы второго знака (для систематической погрешности измерений эти соображения неприменимы).

Таблица 3. Теплопроводность циркония

Подобный контроль полезен при анализе результатов измерений в физике и технике.

Интерполяцию применяют для субтабулирования — сгущения таблиц.

Алгоритмы непосредственного вычисления многих функций очень сложны. Поэтому при математическом табулировании обычно функцию непосредственно вычисляют в небольшом числе узлов, т. е. таблицы имеют крупный шаг. Затем при помощи интерполяции высокого порядка точности сетку узлов сгущают и составляют подробную таблицу. Шаг этой таблицы выбирают таким, чтобы простейшая интерполяция (двухточечная) обеспечивала требуемую точность.

В связи с этим отметим, что при ручных расчетах выгодны подробные таблицы, ибо они допускают применение простейших способов интерполяции, легко выполняемых на бумаге или клавишных машинах, а время поиска нужных узлов интерполяции невелико по сравнению со временем выполнения алгебраических действий. Наоборот, при расчетах на ЭВМ задание подробных таблиц невыгодно, поскольку они занимают много места в оперативной памяти, а время поиска становится много больше времени выполнения алгебраических действий; выгоднее таблицы с большим шагом, хотя при этом требуются более сложные и точные способы интерполяции.

Задачей обратного интерполирования называют нахождение для произвольного у, если задана таблица . Для монотонных функций между прймым и обратным интерполированием нет разницы: можно читать таблицу наоборот, как задание . Единственное отличие будет в том, что «обратная» таблица будет иметь переменный шаг, даже если «прямая» таблица имела постоянный. Но все наши формулы рассчитаны на переменный шаг. Отметим, что для достижения заданной точности прямая и обратная интерполяции требуют, вообще говоря, разного числа узлов.

Важный пример обратного интерполирования — решение уравнения . Вычислим несколько значений функции у т. е. составим небольшую таблицу. Запишем ее в виде и при помощи интерполяции найдем приближенное значение Этот способ дает хорошие результаты, если функция достаточно гладкая, а корень лежит между рассчитанными узлами. Если корень расположен далеко от узлов, то способ ненадежен, ибо применяется экстраполяция.

Пример. Решим уравнение

Составим таблицу 4 значений функции; первым запишем столбец значений у, ибо в дальнейших вычислениях эта величина будет аргументом. Найдем разделенные разности и произведем вычисления по верхней косой строке:

Точное решение есть так что ошибка получилась небольшой.

Для повышения точности в этом способе целесообразно взять новые узлы, близко расположенные к грубо найденному корню, а не увеличивать число узлов.

Таблица 4

В этом курсе будут рассмотрены и другие примеры применения интерполирования.