5. Разностные схемы.

При вариационном методе регуляризации численно решать приходится либо задачу на минимум функционала (42), либо краевую задачу для интегро-дифференциального уравнения Эйлера (53). К этим задачам целесообразно применять разностные методы.

Дадим пример построения разностной схемы, исходя из вариационной формулировки (42). Введем на прямоугольнике сетку так, что . Для простоты ограничимся случаем равномерных сеток сильной регуляризации и единичных весовых функций . Задача (42) при указанных ограничениях принимает вид

где величина, обозначенная через имеет смысл невязки исходной нерегуляризованной системы при подстановке в нее регуляризованного решения. Аппроксимируем входящие в интегралы квадратурными формулами, использующими значения функций в узлах сетки. Для этого вычислим по формуле средних (4.17), одновременно заменяя производную разностью:

Остальные интегралы вычислим по формуле трапеций (4.8):

где

Подставляя (72) — (76) в (71) и обозначая разностное решение через получим вместо (71) алгебраическую задачу

на минимизацию квадратичной формы.

Для решения этой задачи приравняем нулю производные от левой части (77) по Получим систему уравнений, линейных относительно

где

Матрица системы (78) является, вообще говоря, плотно заполненной; поэтому обычно эту систему решают методом исключения Гаусса.

На исследовании полученной разностной схемы не будем останавливаться, поскольку сходные вопросы были рассмотрены в главе VII, § 4. Отметим только, что схема (77) или (78) имеет аппроксимацию если ядро и правая часть непрерывны со своими вторыми производными.

Замечание 1. Если умножить уравнение (78а) на , то матрица этой линейной системы станет симметричной. Тогда для решения этой системы можно будет применить метод квадратного корня (который вдвое быстрей метода Гаусса).

Замечание 2. Нетрудно видеть, что являются разностными аналогами ядра и правой части (536) интегро-дифференциального уравнения Эйлера. Выражение возникшее при дифференцировании последней суммы в (77), есть разностный аналог дифференциального оператора в уравнении (53а). Поэтому система (78) аппроксимирует также задачу регуляризации в, форме уравнения Эйлера (53), причем выражения учитывают краевые условия (53в).