6. Операторные неравенства.

Общая теория устойчивости разностных схем, основанная на установлении неравенств между разностными операторами, образующими схему, построена А. А. Самарским (см. [30, 33]). Она позволяет для многих классов линейных схем получить необходимые и достаточные условия устойчивости и априорные оценки точности. Рассмотрим одно из таких условий устойчивости.

Напомним некоторые свойства операторов, отображающих гильбертово пространство Н в себя Оператор А называется неотрицательным если для любого ненулевого , называется положительным при и положительно определенным при . Неравенство понимается в. том смысле, что

Оператор А называют самосопряженным, если для любых . Квадратным корнем из самосопряженного неотрицательного оператора А называют такой оператор В, что его обозначают он существует и является самосопряженным и неотрицательным.

Исследуем устойчивость двуслойной линейной разностной схемы, записанной в канонической форме:

Теорема. Если операторы А и В самосопряженные, не зависят от номера слоя , и выполняется условие

то схема (65) устойчива по начальным данным в энергетической норме

Доказательство. Для исследования устойчивости по начальным данным достаточно рассмотреть однородное уравнение (65). Полагая и умножая (65) слева на получим

Полагая и замечая, что преобразуем это уравнение в явную разностную схему:

где — единичный оператор; оператор S является самосопряженным.

Перепишем неравенство (66) в следующем виде:

Умножая его слева и справа на положительный оператор , получим

Вычитая это неравенство из Е, получим

Это означает, что

Норма просто связана с энергетической нормой:

Из (68) и (69) следует (67), что и требовалось доказать.

Замечание. При доказательстве не требовалось постоянства коэффициентов схемы (65). Тем самым, признак устойчивости (66) справедлив для разностных схем с переменными коэффициентами.

В этом параграфе излагалась техника исследования устойчивости уже составленной схемы. А как надо составлять схему, чтобы она была устойчивой? Некоторые математические способы построения устойчивых схем были предложены А. А. Самарским в [30}. Высказывались идеи о рассмотрении разностных схем как некорректных задач с дискретными переменными и регуляризации их по А. Н. Тихонову.

Для ряда конкретных задач на основании физических аналогий (скорости распространения возмущений) можно предсказать, будет ли схема устойчива и как ее надо составить, чтобы она была устойчива. В следующих главах будет приведено много таких примеров.