10. Особые точки.

Решение может иметь в отдельных точках отрезка интегрирования особенности, обусловленные обращением в бесконечность правой части или какой-нибудь ее производной. Сначала рассмотрим случай, когда начальная точка является особой. Есть три основных способа численного интегрирования таких решений. Рассмотрим их на примере задачи

где правая часть в начальной точке обращается В бесконечность; очевидно, начинать интегрирование по схеме Рунге — Кутта любого порядка точности при этом невозможно.

Первый способ — это цайти такую замену переменных, которая преобразует уравнение к виду, не имеющему особенностей. Для задачи (40) достаточно сделать замену аргумента тогда эта задача принимает вид

который допускает применение стандартных численных методов.

Второй способ — построить в небольшой окрестности особой точки приближенное решение, выраженное через элементарные (или другие легко вычисляющиеся) функции. Например, выбирая нулевое приближение и применяя к задаче (40) метод Пикара j получим

Отступим от особой точки на конечное расстояние в некоторую точку и вычислим в ней решение с требуемой точностью на основе найденного приближения. Точка уже не особая; ее можно считать первым узлом разностной сетки и вести из нее интегрирование стандартными численными методами.

Следует помнить, что если точка лежит близко к то правая часть уравнения или ее производные еще велики в этой точке и стандартные численные методы дают заметную погрешность вблизи точки . Поэтому желательно выбирать точку подальше от Но тогда, чтобы вычислить с нужной точностью, необходимо строить достаточно хорошее приближенное решение: например, брать высокие приближения метода Пикара.

Третий способ — составить для данной задачи специальную схему, позволяющую вести численное интегрирование непосредственно от особой точки. Например, проинтегрируем уравнение (40) по одному интервалу сетки, и первое слагаемое в подынтегральном выражении проинтегрируем точно, а второе — по формуле прямоугольников с использованием левого конца интервала; тогда получим

Это явная схема, напоминающая схему ломаных (15). Она построена по образцу схем первого порядка точности. Но имеет ли эта схема на самом деле точность — заранее не очевидно, ибо производные правой части уравнения (40) не ограничены; этот вопрос требует дополнительного исследования.

Если решение имеет особенности во внутренних точках отрезка интегрирования, то при этом обычно нельзя сказать заранее, в каких именно точках: правая часть зависит от решения, которое нам не известно. В этом случае целесообразно применять третий способ — составлять специальные схемы, не теряющие своей применимости вблизи особых точек. Примером является схема (39), позволяющая вести сквозной расчет даже при наличии у решения особенностей типа полюсов.