3. Корректность.

Задача называется корректно поставленной, если для любых входных данных из. некоторого класса решение у существует, единственно и устойчиво по входным данным. Рассмотрим это определение подробнее.

Чтобы численно решать задачу надо быть уверенным в том, что искомое решение существует. Естественно также требовать единственности решения точной задачи: численный алгоритм — однозначная последовательность действий, и она может привести к одному решению. Но этого мало.

Нас интересует решение у, соответствующее входным данным . Но реально мы имеем входные данные с погрешностью и находим . Следовательно, неустранимая погрешность решения равна . Если решение непрерывно зависит от входных данных, т. е. всегда при то задача называется устойчивой по входным данным; в противном случае задача неустойчива по входным данным.

Рассмотрим классический пример неустойчивости — задачу Коши для эллиптического уравнения в полуплоскости

Входными данными является Если то задача имеет только тривиальное решение . Если же то решением будет

Очевидно, равномерно сходятся к при но при этом если , то неограничено и никак не может сходиться к . Этот пример связан с физической задачей о тяжелой жидкости, налитой поверх легкой; при этом действительно возникает так называемая релей-тейлоровская неустойчивость.

Отсутствие устойчивости обычно означает, что даже сравнительно небольшой погрешности соответствует весьма большое , т. е. получаемое в расчете решение будет далеко от искомого. Непосредственно к такой задаче численные методы применять бессмысленно, ибо погрешности, неизбежно появляющиеся при численном расчете, будут катастрофически нарастать в ходе вычислений.

Правда, сейчас развиты методы решения многих некорректных задач. Но они основаны на решении не исходной задачи, а близкой к ней вспомогательной корректно поставленной задачи, содержащей параметр а; при решение вспомогательной задачи должно стремиться к решению исходной задачи. Примеры таких методов (называемых регуляризацией) даны в следующих двух главах, а их строгое обоснование приведено в главе XIV, § 2.

На практике даже не всякую устойчивую задачу легко решить. Пусть причем константа С очень велика. Задача формально устойчива, но фактическая неустранимая ошибка может быть большой. Этот случай называют слабой устойчивостью (или плохой обусловленностью). Примером является такая задача:

Общее решение дифференциального уравнения (9 а) есть:

Начальным условиям (96) соответствует точное решение но небольшая погрешность начальных данных может привести к тому, что в решении добавится член вида ее, который при больших аргументах много больше искомого решения.

Очевидно, для хорошей практической устойчивости расчета константа С должна быть не слишком велика. Так, если начальные данные известны точно, т. е. могут быть заданы с точностью до ошибок округления , то необходимо, чтобы . Если же начальные данные найдены из эксперимента с точностью а требуемая точность решения то допустимо

Даже если задача устойчива, то численный алгоритм может быть неустойчивым. Например, если производные заменяются разностями, то приходится вычитать близкие числа и сильно теряется точность. Эти неточные промежуточные результаты используются в дальнейших вычислениях, и ошибки могут сильно нарастать.

По аналогии можно говорить о корректности алгоритма подразумевая существование и единственность приближенного решения для любых входных данных некоторого класса, и устойчивость относительно всех ошибок в исходных данных и промежуточных выкладках. Однако в общем случае этим определением трудно пользоваться; только в теории разностных схем (глава IX) оно применяется успешно.

ЗАДАЧИ

1. Доказать выполнимость всех соотношений (4). Рассмотреть, как меняется форма записи этих соотношений при задании функции на произвольном конечном отрезке

2. Доказать утверждения о согласованности и подчиненности норм матриц, приведенные в конце п. 1 § 2.