2. Явные и неявные схемы.

Обсудим вопрос о фактическом вычислении разностного решения. Большая часть физических проблем приводит к уравнениям, содержащим время в качестве одной из переменных. Для таких уравнений ставится обычно смешанная краевая задача, типичным случаем которой является (15).

К подобным задачам применяют послойный алгоритм вычислений. Рассмотрим его на примере схем (18) и (16).

В схеме (18) на исходном слое решение известно в силу начального условия. Положим в уравнениях (18). Тогда при каждом значений индекса уравнение содержит только одно неизвестное; отсюда можно определить при .

Значения и определяются из краевых условий (17). Таким образом, значения решения на первом слое вычислены. По ним аналогичным образом вычисляется решение на втором слое и т. д.

Схема (18) в каждом уравнении содержит только одно значение функции на следующем слое; это значение нетрудно явно выразить через известные значения функции на данном слое. Поэтому такие схемы называются явными.

Схема (16) содержит в каждом уравнении несколько неизвестных значений функции на новом слое; подобные схемы называются неявными. Для фактического вычисления решения перепишем схему (16) с учетом краевого условия (17) в следующей форме:

На каждом слое схема (19) представляет собой систему линейных уравнений для определения величин , правые части этих уравнений известны, поскольку содержат значения решения с предыдущего слоя. Матрица линейной системы трехдиагональна, и решение можно вычислить алгебраической прогонкой.

Рассмотренный сейчас алгоритм достаточно типичен. Он используется во многих неявных разностных схемах для одномерных и многомерных задач. Дальше мы будем вместо индекса времени часто применять сокращенные обозначения:

(20)

В этих обозначениях разностная схема (18) примет вид