Главная > Математика > Численные методы
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

5. Почти треугольные матрицы.

Для такой матрицы также можно написать формулы, позволяющие легко вычислить определитель при заданном значении X. Это удобно делать методом исключения Гаусса, учитывая большое количество нулей в матрице определителя.

Используем формулы метода исключения (5.3)-(5.5). Для определенности будем считать нашу матрицу верхней почти треугольной. Тогда видно, что при 1, а каждый цикл исключения сводится всего лишь к вычитанию двух строк. Достаточно при этом помечать изменяющиеся величины штрихом, опуская верхний индекс цикла. После этого формулы 6-го цикла примут вид

причем . Последовательно полагая аннулируем все поддиагональные элементы.

После этого определитель легко вычисляется по формуле Чио (5.8):

Поскольку нас интересует , то для его вычисления надо в формулах (15)-(16) вместо нештрихованных величин всюду подставить Этот способ позволяет вычислить определитель за арифметических действий.

Как и для трехдиагональной матрицы, корни характеристического многочлена можно находить методом парабол. Тогда нахождение всех корней потребует около действий. Видно, что метод оказывается не быстрым, но довольно простым и устойчивым. Дальше мы увидим, что есть заметно более быстрые способы нахождения собственных значений почти треугольной матрицы, основанные на преобразовании матрицы к трехдиагональной форме. Но они более сложны и менее устойчивы.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление