5. Почти треугольные матрицы.

Для такой матрицы также можно написать формулы, позволяющие легко вычислить определитель при заданном значении X. Это удобно делать методом исключения Гаусса, учитывая большое количество нулей в матрице определителя.

Используем формулы метода исключения (5.3)-(5.5). Для определенности будем считать нашу матрицу верхней почти треугольной. Тогда видно, что при 1, а каждый цикл исключения сводится всего лишь к вычитанию двух строк. Достаточно при этом помечать изменяющиеся величины штрихом, опуская верхний индекс цикла. После этого формулы 6-го цикла примут вид

причем . Последовательно полагая аннулируем все поддиагональные элементы.

После этого определитель легко вычисляется по формуле Чио (5.8):

Поскольку нас интересует , то для его вычисления надо в формулах (15)-(16) вместо нештрихованных величин всюду подставить Этот способ позволяет вычислить определитель за арифметических действий.

Как и для трехдиагональной матрицы, корни характеристического многочлена можно находить методом парабол. Тогда нахождение всех корней потребует около действий. Видно, что метод оказывается не быстрым, но довольно простым и устойчивым. Дальше мы увидим, что есть заметно более быстрые способы нахождения собственных значений почти треугольной матрицы, основанные на преобразовании матрицы к трехдиагональной форме. Но они более сложны и менее устойчивы.