§ 2. Краевые задачи

1. Постановки задач.

Краевая задача — это задача отыскания частного решения системы (1а):

на отрезке в которой дополнительные условия налагаются на значения функций более чем в одной точке этого отрезка. Очевидно, что краевые задачи возможны для систем порядка не ниже второго.

Свое первоначальнбе название этот тип задач получил по простейшим случаям, когда часть дополнительных условий задается на одном конце отрезка, а остальная часть — на другом (т. е. только в точках ). Примером является задача нахождения статического прогиба и нагруженной струны с закрепленными концами

здесь — внешняя изгибающая нагрузка на единицу длины струны, деленная на упругость струны.

Для уравнений или систем более высокого порядка, где число дополнительных условий больше двух, постановки краевых условий более разнообразны. При этом возможны случаи, когда часть условий задана во внутренних точках отрезка ; их нередко называют внутренними краевыми условиями. Например, статический прогиб нагруженного упругого бруска удовлетворяет уравнению четвертого порядка

если этот брусок лежит в точках на опорах, то дополнительные условия имеют вид

т. е. все они заданы в разных точках.

Сами дополнительные условия могут связывать между собой значения нескольких функций в одной точке (или даже в разных точках); тогда для системы порядка (1) они примут вид

Существуют задачи с еще более сложными по форме дополнительными условиями, например, условиями нормировки

обычными в квантовой механике, и т. д.

Несмотря на разнообразие форм краевых условий, краевые задачи решаются в основном одними и теми же численными методами, что оправдывает их объединение в один тип. Остановимся на методах решения.

Найти точное решение краевой задачи в элементарных функциях удается редко: для этого надо найти общее решение системы (1) и суметь явно определить из краевых условий значения входящих в него постоянных.

К приближенным методам решения краевых задач относятся разложение в ряды Фурье, методы Ритца и Галеркина. Ряды Фурье применяют к линейным задачам; этот метод излагается в курсах математической физики (см. [2, 40]) и здесь рассматриваться не будет. Остальные два метода применимы и к некоторым нелинейным задачам. Метод Ритца разбирался в главе VII, а метод Галеркина будет рассмотрен в этом параграфе.

Для численного решения краевых задач применяют метод стрельбы и разностный метод. Метод стрельбы основан на сведении краевой задачи к некоторой задаче Коши для той же системы уравнений. В разностном методе задача приближенно заменяется решением алгебраической системы уравнений с очень большим числом неизвестных (неизвестными являются значения решения в узлах сетки). В случае нелинейных задач оба метода являются итерационными; при этом построение хорошо сходящихся итерационных процессов само оказывается достаточно сложным.