§ 2. Нестандартные формулы

1. Разрывные функции.

Пусть функция и ее производные кусочно-непрерывны; в точках разрыва подразумевается существование односторонних производных всех требуемых порядков.

Разобьем отрезок [а, b] на отрезки так, чтобы на этих отрезках функция и некоторое число ее низших производных были непрерывны; на концах этих отрезков в качестве значений функции и производных возьмем соответствующие односторонние пределы.

Представим интеграл в виде суммы интегралов по отрезкам непрерывности. Применим к каждому отрезку квадратурную формулу порядка точности . Если одновременно и одинаково сгущать сетки на всех отрезках непрерывности, то порядок точности ответа будет q, как и для непрерывных достаточно гладких функций. В этом случае методом Рунге — Ромберга можно повысить порядок точности до р.

Если же применять квадратурные формулы к разрывным или не гладким функциям, не выделяя особые точки указанным образом, то при сгущении сетки сходимость хотя и будет, но с невысокой скоростью и без четко выраженного порядка точности. Мажорантную оценку ошибки вида при этом обычно можно найти, но асимптотической оценки вида как правило, не существует. При этом применять метод Рунге или процесс Эйткена будет нельзя.

Пример. Рассмотрим

Здесь подынтегральная функция непрерывная и гладкая, но вторая производная имеет разрыв при . Если для этой функции выделить отрезки непрерывности, то формула Симпсона дает точный ответ. Если же сгущать равномерную сетку делением пополам, то точка никогда не будет узловой и следует ожидать плохой сходимости. Это подтверждается расчетами, приведенными в таблице 14.