3. Вычисление интеграла.

Значение случайной функции заключено между если заключено между и вероятность этого события равна . Нетрудно понять, что математическое ожидание случайной функции и ее дисперсия соответственно равны

Таким образом, одномерный интеграл можно рассматривать как математическое ожидание случайной функции , аргумент которой есть случайная величина с плотностью распределения . На этом основан первый способ статистического вычисления интегралов.

Математическое ожидание можно приближенно вычислить на основании центральной предельной теоремы теории вероятностей; если есть случайная величина, то среднее арифметическое многих испытаний

тоже есть случайная величина с тем же математическим ожиданием причем при распределение стремится к гауссову (нормальному) распределению с дисперсией

При большом числе испытаний дисперсия мала, т. е. значение среднеарифметического с хорошей вероятностью будет близко к математическому ожиданию. Поэтому можно положить

где — случайная величина с плотностью распределения Оценим дисперсию отдельного испытания по формуле (56), заменяя в ней математические ожидания на суммы типа (57); тогда дисперсия среднеарифметического приближенно равна

Появление делителя вместо N перед фигурной скобкой обосновывается в теории вероятностей; правда, это существенно только при очень малых числах испытаний.

Ответ в методе статистических испытаний носит вероятностный характер и в принципе может сколь угодно сильно отличаться от точного значения интеграла. Однако, согласно свойствам нормального распределения, с вероятностью 99,7% ошибка не превосходит . Вероятной называют ошибку 0,675 У соответствующую 50%-ной вероятности; реальная ошибка обычно близка к этой величине — примерно вдвое больше или меньше. Таким образом, выполняя расчеты по формулам (57) -(58), мы одновременно с интегралом получаем неплохую апостериорную оценку ошибки.

При увеличении числа испытаний N погрешность ответа будет убывать примерно, как . Скорости современных ЭВМ позволяют использовать в расчетах поэтому на точность выше 0,1% в методе статистических испытаний трудно рассчитывать. В сложных задачах погрешность возрастает до 1 —10%.

Поскольку погрешность имеет вероятностный характер, то зависимость относится не к самой погрешности, а лишь к ширине доверительного интервала. Поэтому нельзя приписывать методу статистических испытаний строгий порядок точности (вроде ) и нельзя применять метод Рунге — Ромберга к расчетам, сделанным с различными

Второй способ статистического вычисления применяется к интегралам вида причем на отрезке интегрирования Произвольный интеграл можно привести к такому виду линейной заменой масштабов.

Возьмем случайные числа равномерно распределенные на единичном отрезке. Будем рассматривать последовательные пары чисел как координаты точек в единичном квадрате на плоскости х, у (рис. 21). Эти точки будут случайными и равномерно распределенными в этом квадрате. Поэтому вероятность попадания точки под кривую y = f(x) равна площади, заключенной под кривой, т. е. искомому интегралу.

Условие попадания точки под кривую есть ; та доля общего числа испытаний, которая удовлетворяет этому условию, дает приближенное значение интеграла.

Рис. 21.