3. Метод Ритца.

Ряд важных математических задач сводится к минимизации квадратичного функционала. Примером является решение корректно или некорректно поставленных задач для линейного операторного уравнения (54), приводящее к одному из функционалов (55), (56) или (58). Если в качестве пробных функций взять обобщенные многочлены

то на них квадратичный функционал будет квадратичной функцией параметров Задача на нахождение минимума квадратичной функции посредством дифференцирования по переменным сводится к системе алгебраических линейных уравнений; ее нетрудно численно решить даже при числе параметров . Этот частный случай метода пробных функций называют методом Ритца.

Обсудим выбор функций . Его целесообразно связать с краевыми условиями для задач типа (54), которые обычно линейны. Пусть, для определенности, это условия первого рода

Выберем какую-нибудь гладкую функцию так, чтобы она удовлетворяла этим краевым условиям, например,

или

Остальные функции выберем так, чтобы они удовлетворяли однородным краевым условиям типа (72) и при этом образовывали бы полную систему. Например, согласно теореме Вейерштрасса любую непрерывную функцию можно аппроксимировать со сколь угодно высокой точностью алгебраическими или тригонометрическими многочленами. Поэтому можно положить

или

В этом случае пробные функции (71) при любых коэффициентах удовлетворяют неоднородным краевым условиям (72) и являются полными на множестве непрерывных функций, удовлетворяющих этим краевым условиям. Согласно замечанию 3 к теореме п. 2 такой выбор пробных функций допустйм.

Пример. Рассмотрим задачу на минимум квадратичного функционала (58) с вещественным симметричным положительным оператором А:

Подставляя в этот функционал пробные функции Ритца (71), получим квадратичную функцию свободных параметров

Приравнивая нулю производные этой квадратичной функции по параметрам, получим для определения параметров линейную систему уравнений

Дадим схему исследования сходимости, не останавливаясь на деталях. В этом примере удобно ввести норму, связанную с данным положительным оператором А:

Сделаем естественное предположение, что эта норма не слабее . В самом деле, для операторов А типа (61) такая норма содержит интеграл от квадрата функции и ее производной, а среднеквадратичная близость и функций, и их производных есть более сильное требование, чем равномерная близость функций. Для таких операторов система тригонометрических функций (73г) будет полной по норме (76). Действительно, для любой функции у непрерывно дифференцируемой раз, ее тригонометрический ряд Фурье среднеквадратично сходится к ней вместе со своими производными. А сходимость по норме (76) отличается от среднеквадратичной только наличием весовых множителей под интегралом (62), что несущественно.

Найдем вариацию функционала (74) на произвольной функции

Первое слагаемое этой вариации равно т. е. является бесконечно малой второго порядка; второе слагаемое, по предположению о силе нормы (76), является бесконечно малой не ниже первого порядка относительно . Отсюда следует непрерывность функционала. Наконец, заметим, что решение у искомой задачи (74) удовлетворяет уравнению . Подставляя это решение в (77), получим

Таким образом, последнее условие (70) теоремы о сходимости выполнено и метод Ритца в данном примере сходится.

Заметим, что для не квадратичных функционалов линейные по параметрам пробные функции (71) не дают никаких преимуществ, ибо получающиеся функции параметров все равно оказываются не квадратичными. Поэтому метод Ритца фактически применяют только для квадратичных функционалов.

4. Сеточный метод. Введем сетку по аргументу и заменим все производные и интегралы, входящие в функционал, некоторыми разностями и суммами узловых значений функции -Тогда функционал аппроксимируется некоторой вспомогательной функцией многих переменных — значений решения в узлах:

Решая задачу численными методами, мы непосредственно получим приближенные значения решения в узлах сетки. Зная их, решение при остальных значениях аргумента (не совпадающих с узлами сетки) можно найти интерполяцией.

Например, рассмотрим сферически-симметричный сжатый атом в модели Томаса—Ферми; его энергия задается функционалом (65), где интегралы берутся по сферической атомной ячейке радиуса R. Вводя равномерную сетку и вычисляя интегралы по формуле прямоугольников, получим

где атомный потенциал сам зависит от неизвестной электронной плотности

а коэффициенты у выражаются через физические константы. Надо найти минимум энергии при дополнительном условии нормировки

причем это условие также надо приближенно записать в сеточной форме.

Выражения (79а), (796) достаточно сложные, и при большом числе узлов сетки найти минимум численными методами трудно. Очевидно, что для произвольных функционалов число узлов сетки, которое практически возможно использовать в расчетах, очень невелико: оно не превышает 10 — 20. Однако даже при таком числе узлов нередко удается получить неплохую точность при умеренном объеме расчетов, используя прием сгущения сеток.

Для этого выполняют серию расчетов на сгущающихся вдвое сетках с числами интервалов . Поскольку порядок точности выбранных разностных формул дифференцирования и интегрирования обычно известен, то проводят уточнение результатов, полученных на разных сетках, рекуррентным методом Рунге. При этом непосредственно наблюдают, сходится ли численный расчет к пределу при увеличении , и производят апостериорную оценку погрешности.

На каждой сетке минимум функции находят обычно каким-либо итерационным методом спуска. Для уменьшения числа итераций (а тем самым, объема вычислений) организуют расчет следующим образом. Сначала выполняют расчет на самой редкой сетке, где неизвестных мало (при всего два — ) и объем вычислений заведомо невелик даже при плохом нулевом приближении. Найденный на этой сетке профиль интерполируют на следующей, более подробной сетке, и используют на ней в качестве нулевого приближения. Вновь найденный профиль снова интерполируют и т. д.

Для квадратичных функционалов при использовании линейных формул численного дифференцирования и интегрирования задача (78), как и в методе Ритца, сводится к нахождению минимума квадратичной функции.

Например, возьмем функционал (62), но на ограниченном отрезке введем на этом отрезке равномерную сетку с шагом h и аппроксимируем интеграл при помощи обобщенных формул трапеции и средних:

Отыскание минимума опять сводится к решению линейной системы уравнений с неизвестными легко выполняемому численными методами. Это позволяет брать очень большое число узлов. Тогда имеет смысл ставить вопрос о теоретическом исследовании сходимости приближенного решения к искомому при Обоснования сходимости мы не будем давать. Укажем только один случай, когда применима сформулированная в п. 2 теорема.

Пусть функционал имеет вид (69), т. е. явно содержит функцию и ее производные вплоть до . Построим последовательность сеток так, чтобы предыдущая сетка содержалась в последующей; это можно делать сгущением сеток вдвое, причем сетки могут быть даже неравномерными.

В качестве пробных функций возьмём сплайны порядка не ниже (см. главу II, § 1). Эти сплайны являются многочленами степени , коэффициенты которых линейно выражаются через узловые значения искомой функции их производные порядка ниже непрерывны, а производная всюду существует и кусочно-непрерывна. Нетрудно убедиться в том, что условие вложения классов пробных функций во все последующие классы при этом выполнено, и что такими пробными функциями при можно со сколь угодно высокой точностью аппроксимировать любую раз непрерывно дифференцируемую функцию вместе с ее производными вплоть до . Следовательно, система сплайн-функций обладает свойствами, нужными для применения теоремы о сходимости.

В качестве примера рассмотрим квадратичный функционал типа (62), содержащий первую производную:

Сплайн должен иметь порядок тоже не ниже первого. Ограничимся простейшим сплайном первого порядка — ломаной линией, проведенной через точки

Надо разбить интеграл (81) на сумму интегралов по отдельным интервалам сетки и каждый из этих интегралов вычислить, используя заданный закон интерполяции (82). Например, поскольку при , то

Аналогично вычисляются остальные слагаемые в (81).

Получающиеся выражения имеют более сложный вид, чем при не сплайновой аппроксимации (80); использование сплайнов высших порядков привело бы к еще более сложным выражениям (зато получающиеся при этом сеточные схемы имели бы более высокий порядок точности). Тем не менее, поскольку сами сплайны линейно зависят от узловых значений функции, то подстановка их в квадратичный функционал приводит к задаче на минимум квадратичной формы. Поэтому такой подстановкой пользуются даже для многомерных функционалов, к которым сводятся краевые задачи для эллиптических уравнений в частных производных

Коснемся построения сплайнов в многомерных задачах. Если область G двумерна, то ее можно разбить на треугольные ячейки (у граничных ячеек одна сторона может быть не прямой). В каждой ячейке по узловым значениям функции двух переменных (х, у) в трех вершинах ячейки однозначно строится простейший линейный сплайн , где он соответствует аппроксимации поверхности плоскостью. Сплайновые плоскости соседних ячеек пересекаются по прямым, проходящим через выбранные узлы поверхности эти прямые проектируются точно на границы ячеек. Следовательно, двумерный линейный сплайн, построенный указанным образом, является непрерывным и кусочно-гладким в области G.

Описанный способ построения линейного сплайна естественно обобщается на случай любого числа измерений. При этом область G следует разбить на многомерные симплексы.

Но для построения сплайнов более высокого порядка этот несложный алгоритм не годится: в этом случае он не гарантирует непрерывности и требуемой гладкости сплайновой поверхности на границах ячеек. Требования непрерывности функции и некоторого числа ее производных на границах ячеек надо формулировать в виде дополнительных уравнений, которым должны удовлетворять коэффициенты сплайнов. Надо, чтобы полное число уравнений равнялось полному числу коэффициентов; это будет не при любой форме ячейки.

Например, рассмотрим двумерный кубический сплайн в прямоугольных ячейках со сторонами, параллельными осям координат. Потребуем непрерывности на границах сплайна вместе со вторыми производными. Этот сплайн имеет 10 коэффициентов в расчете на одну ячейку. Совпадение сплайна с функцией в вершинах ячейки дает 4 уравнения. Потребуем на обеих сторонах ячейки, параллельных оси непрерывности дифференцируя их по нетрудно убедиться, что тогда на этих сторонах величины тоже будут непрерывны. Аналогично потребуем непрерывности величин на сторонах, параллельных оси у. Это дает по 3 уравнения на каждой стороне ячейки, но эти уравнения связывают коэффициенты двух ячеек. Следовательно, всего непрерывность дает 6 уравнений в расчете на одну ячейку. Таким образом, полное число уравнений равно полному числу коэффициентов, и сплайн определяется однозначно (с точностью до условий на границе области ).