5. Формула Эйлера.

Аппроксимация подынтегральной функции интерполяционным многочленом Эрмита приводит к квадратурным формулам, содержащим производные в узлах. Мы не будем рассматривать общий случай и выведем только формулу с первой производной. Для этого приближенно выразим остаточный член формулы трапеций (6) через значения производных в узлах

Прибавляя эту величину к правой части формулы трапеций, получим формулу Эйлера (или Эйлера — Маклорена)

Остаточный член этой формулы вычислим стандартной подстановкой разложения Тейлора для f(x). Предполагая существование непрерывной четвертой производной, выпишем в формуле (5) пять членов разложения и подставим их в, выражение погрешности. Выполнив выкладки, получим асимптотическую оценку

Видно, что из-за симметрии формулы уничтожился член, содержащий значит, формула Эйлера точна для многочлена третьей степени. Ее остаточный член имеет тот же вид, что и остаточный член формулы Симпсона; но его численный коэффициент в пересчете на один интервал оказывается вчетверо меньше.

Отметим, что остаточный член (20) можно выразить, аналогично (18), через разности третьих производных в узлах и т. д. Так строят формулы Эйлера—Маклорена высших порядков, но в практических вычислениях они применяются редко, и мы не будем их рассматривать.

Обобщенную формулу Эйлера можно написать на произвольной сетке. Особенно простой вид приобретает формула на равномерной сетке, ибо производные во внутренних узлах сетки при этом взаимно уничтожаются:

Это показывает, что небольшая добавка к формуле трапеций сильно увеличивает точность, повышая ее с до

Если в таблице заданы значения только самой функции, а не ее производных, то обобщенную формулу Эйлера можно применять, подставляя разностные выражения для Но эти выражения должны иметь второй порядок точности, чтобы соответствовать общей точности формулы (получающиеся при этом формулы называются формулами Грегори). Если заменить производные односторонними разностями , то общий порядок точности понижается до третьего.