5. Формула Эйлера.
Аппроксимация подынтегральной функции интерполяционным многочленом Эрмита приводит к квадратурным формулам, содержащим производные в узлах. Мы не будем рассматривать общий случай и выведем только формулу с первой производной. Для этого приближенно выразим остаточный член формулы трапеций (6) через значения производных в узлах
Прибавляя эту величину к правой части формулы трапеций, получим формулу Эйлера (или Эйлера — Маклорена)
Остаточный член этой формулы вычислим стандартной подстановкой разложения Тейлора для f(x). Предполагая существование непрерывной четвертой производной, выпишем в формуле (5) пять членов разложения и подставим их в, выражение погрешности. Выполнив выкладки, получим асимптотическую оценку
Видно, что из-за симметрии формулы уничтожился член, содержащий значит, формула Эйлера точна для многочлена третьей степени. Ее остаточный член имеет тот же вид, что и остаточный член формулы Симпсона; но его численный коэффициент в пересчете на один интервал оказывается вчетверо меньше.
Отметим, что остаточный член (20) можно выразить, аналогично (18), через разности третьих производных в узлах и т. д. Так строят формулы Эйлера—Маклорена высших порядков, но в практических вычислениях они применяются редко, и мы не будем их рассматривать.
Обобщенную формулу Эйлера можно написать на произвольной сетке. Особенно простой вид приобретает формула на равномерной сетке, ибо производные во внутренних узлах сетки при этом взаимно уничтожаются: