3. Чебышевский набор шагов.

Счет на установление можно проводить с переменным шагом по времени. Для тех задач, в которых известны границы спектра разностных операторов, построены специальные наборы шагов обеспечивающие гораздо более быстрое затуханиеначальных данных, чем при расчете с постоянным оптимальным шагом.

Чебышевский набор. Пусть разностная схема счета на установление приведена к двуслойной канонической форме:

Будем предполагать, что А и В — самосопряженные положительно определенные операторы, удовлетворяющие неравенствам

Затухание начальных данных определяется однородным уравнением (28), которое можно записать в следующей форме:

где

Отсюда, вытекает, что

Для наиболее быстрого затухания начальных данных последовательность шагов надо выбрать так, чтобы была минимальна при заданном числе шагов

Поскольку А и В — самосопряженные операторы, то оператор С тоже самосопряженный, причем из (29) следует неравенство

В этом случае норму операторного многочлена можно оценить по формуле

где — алгебраический многочлен.

Для того чтобы максимум модуля алгебраического многочлена был минимален на отрезке этот многочлен с точностью до множителя должен совпадать с многочленом Чебышева первого рода для этого отрезка Используя данные в Приложении корни многочленов Чебышева и учитывая, что корнями являются величины получим чебышевский набор шагов:

Определяя множитель, отличающий от многочлена Чебышева на отрезке можно найти коэффициент затухания начальных данных после расчета с набором шагов (33):

Если необходимая точность расчета , то в оценке (34) можно пренебречь членом . Тогда требуемое число шагов равно

Заметим, что сначала надо найти требуемое число шагов по формуле (35); только после этого можно вычислить искомый набор шагов (33).

Замечание. В случае области сложной формы или задачи с переменными коэффициентами (2) точные границы энергетической эквивалентности операторов (29) установить обычно не удается. Приходится оценивать их, занижая и завышая (в неизвестные числа раз и ). Поскольку всегда , то . Отсюда видно, что требуемое число шагов (35) возрастает в раз по сравнению со случаем, когда границы спектра известны точно.

Постоянный шаг. Оптимальный постоянный шаг выбирается так, чтобы начальные данные наиболее сильно затухали за один шаг. Там самым, он является частным случаем чебышевского набора, соответствующим Формулы (33), (34) принимают при этом вид

Продольно-поперечная схема (13) или локальноодномерная схема с полусуммой (22) не подходят, строго говоря, под разобранный выше случай, потому что они содержат оператор

явно зависящий от номера шага.

Однако для этих схем в п. 2 были определены оптймальный шаг (19) и соответствующая ему скорость затухания начальных данных. Ограничиваясь задачей Дирихле в -мерном кубе со стороной а и одинаковым числом узлов N по каждой координате, запишем:

Сравнивая эти выражения с (36) и учитывая, что получим нестрогую, но удовлетворительную оценку границ спектра:

Подставляя оценку (37) в (34) и (35), получим, что для рассмотренных схем

Таким образом, счет на установление по экономичным схемам с чебышевский набором шагов требует всего шагов, в то время как расчет с постоянным оптимальным шагом требует существенно большего числа шагов:

Используя в разностной схеме переменный оператор можно найти другие наборы шагов, обеспечивающие еще более быстрое установление. Например, для продольно-поперечной схемы в случае задачи Дирихле (1) в прямоугольнике построен жорданов набор шагов (см. ), при котором

Однако для более сложных задач наборы шагов с подобными характеристиками найти пока не удалось.

Порядок шагов. Чебышевский набор шагов позволяет проводить экономичный расчет на установление даже по явной схеме (11.56) с Запишем эту схему в виде

Операторы схемы (39) постоянны, и нетрудно показать, что для задачи Дирихле в кубе . Поэтому для расчета по схеме (39) с чебышевским набором шагов требуется число шагов

что по объему вычислений эквивалентно экономичным схемам с постоянным оптимальным шагом.

Заметим, что схема (39) устойчива только при Среди шагов чебышевского набора (33) есть такие, которые больше и меньше Большие шаги вызывают рост погрешностей, а малые — затухание. В целом их действие таково, что если выполнить все шагов, то ошибка затухает в раз.

Слово «если» употреблено не случайно. Нередко ошибки на промежуточных шагах возрастают в раз по сравнению с начальными, выходят за допустимые на ЭВМ пределы, и расчет не удается довести до конца. Поэтому, хотя чебышевский набор шагов для схемы (39) был найден более полувека назад, в практических вычислениях его долго не могли использовать.

Однако если шаги выполнять в определенном порядке, то расчет становится возможным. Идея упорядочения - заключается в том, что сразу вслед за шагом, увеличивающим ошибку, надо выполнять шаг, уменьшающий ее. Правило перестановки особенно просто, если число шагов равно . Тогда надо расположить шагй в естественном порядке и сгруппировать парами: первый — последний, второй — предпоследний и т. д. Затем пары так же группируются в четверки: первая — последняя. Аналогично группируются четверки, восьмерки и т. д. Например, для 16 шагов окончательный порядок такой:

При использовании упорядоченного чебышевского набора шагов ошибка на отдельных шагах может нарастать, но никогда в ходе расчета не превзойдет начальной ошибки, а в конце расчета будет соответствовать оценке