2. Оптимальный шаг.

Для расчета эволюционной -мерной задачи (3) до момента Т используют экономичные разностные схемы. При этом шаги выбирают достаточно малыми, чтобы обеспечить требуемую близость разностного решения у к точному решению эволюционной задачи.

Однако если шаг выбран слишком малым, то расчет до момента Т потребует большого числа шагов, что неоправданно увеличит объем вычислений. Очевидно, должен существовать оптимальный шаг рассмотрим, как его найти.

Для простоты ограничимся двумерной задачей Дирихле в прямоугольнике:

Ей соответствует эволюционная задача для уравнения

(12)

которую будем решать на равномерной сетке с шагами

Продольно-поперечная схема. Для исследования этой схемы возьмем ее запись (11.63) в двуслойной форме:

и преобразуем ее к канонической форме:

где

Поскольку в уравнении (12) коэффициент теплопроводности а сетка равномерна, то

Если численный расчет доведен до выхода на стационарное решение, то .

Тогда схема (13) в пределе переходит в неэволюционную (не содержащую времени) разностную схему

которая, как нетрудно заметить, аппроксимирует стационарную задачу (11). Очевидно, в этом случае оптимальным будет тот шаг , при котором разностное решение выйдет на стационарное за наименьшее число шагов. Для этого надо, чтобы начальные данные за один шаг затухали возможно сильнее.

Затухание начальных данных можно исследовать методом разделения переменных, взятым в строгой форме (поскольку нас интересуют точные значения границ спектра оператора). Собственные функции разностного оператора — () в прямоугольнике на равномерной сетке равны, как нетрудно проверить,

Рис. 86.

Подставляя их в схему (13) и полагая определим множители роста гармоник:

Очевидно, все т. е. все гармоники затухают; это означает, что схема (13) обладает аппроксимационной вязкостью.

Какие гармоники затухают наиболее медленно и, тем самым, сильнее всего препятствуют выходу на стационарный режим? Нетрудно заметить, что входящий в сомножитель заключен в пределах и монотонно убывает при увеличении номера q (рис. 86, жирная линия). Наибольшим по модулю может быть множитель либо с либо с . Считая N достаточно большим, можно положить

и представить экстремальные множители (при ) в виде

Аналогично, второй сомножитель ) максимален по модулю либо при либо при Поэтому максимален либо при либо при причем

Чем больше шаг , тем меньше и больше причем оба они близки к это значит, что первая и последняя гармоники затухают медленно, причем при малом шаге быстрей затухает последняя, а при большом — первая гармоника. Выберем шаг так, чтобы из (18) видно, что

Если изменить шаг по сравнению с , то либо первая, либо последняя гармоника будет затухать медленнее, чем при . Следовательно, есть оптимальный шаг.

Число шагов , нужное для достижения заданной точности , определяется условием (шах При оптимальном шаге наибольшие множители роста равны

Поэтому минимально необходимое число шагов есть

Сравнивая время счета на установление (9) и величину оптимального шага (19), нетрудно убедиться, что

Отметим, что при выполняется и

В дифференциальном уравнении (12) установление происходит за достаточно большой промежуток времени. Почему же не взять для разностной схемы очень большой шаг по времени, если устойчивость это позволяет? Казалось бы, тогда мы быстрей добьемся установления. Но это не так. Спектр дифференциального оператора таков, что гармоники затухают тем быстрей, чем больше их номер, причем при соответствующая кривая показана пунктиром на рис. 86. А затухание собственных функций разностного оператора имеет, вообще говоря, другой качественный характер, как видно из того же рисунка.

Локально-одномерная схема (11.69) с полусуммой по времени в двумерном случае может быть записана в виде

где операторы имеют вид (13в) и коммутируют друг с другом. Умножая уравнение (22а) слева на (), а уравнение (226) — на исключим у и запишем (22) в виде двуслойной схемы:

Преобразуем ее к канонической форме:

Видно, что левая часть (23) совпадает с левой частью продольнопоперечной схемы (13). Поэтому шаг обеспечивающий наиболее быстрое затухание начальных данных, для схемы (23) определяется также формулой (19).

Нетрудно понять, как обобщить выражения оптимального шага (19) и минимального числа шагов (21) на случай произвольного числа измерений для локально-одномерной схемы с полусуммой. Запишем эти выражения в простейшем случае, когда задача Дирихле поставлена в -мерном кубе со стороной а и по каждой стороне взято N узлов сетки:

Однако если положить , то правая часть (23) будет отличаться от на величину . Поэтому установившееся разностное решение будет отличаться от и на и, тем самым, общая точность расчета будет хуже, чем по продольно-поперечной схеме.

Замечание. Для улучшения точности приравняем правой части (23). Для этого достаточно произвольно выбрать определить из уравнения

Это линейное уравнение с трехдиагональной матрицей; оно легко решается одномерной прогонкой по направлению

Произвольная область. Выбрать оптимальный шаг удается только в простейших задачах, когда точно известны границы спектра разностного оператора. В областях сложной формы мы можем, подставляя в формулу (19) характерные размеры области и число узлов сетки, определить лишь порядок величины . Поэтому надо представлять, как зависит число шагов требуемое для установления с заданной точностью, от величины шага .

При затухание начальных данных определяется множителем так что число шагов находится из условия . Из формулы (18) с учетом малости следует, что тем самым,

Рис. 87.

Отсюда нетрудно получить, что

(26а)

Аналогично находим

Кривая изображена на рис. 87 жирной линией. Ее минимум соответствует оптимальному шагу. Видно, что в низшей точке кривая имеет разрыв производной. Значит, умеренное отклонение величины шага от оптимума может заметно увеличить требуемое число шагов (во столько раз, во сколько отличается от ).

Критерии установления. Из сказанного выше следует, что для задач в достаточно общей постановке (2), (3) заранее неизвестно, какое число шагов надо сделать до установления. Поэтому на практике вычисления прекращают при выполнении какого-нибудь правдоподобного, хотя и нестрогого критерия.

Нередко пользуются простейшим критерием

однако он недостаточно надежен, поскольку разностное решение устанавливается медленно. Если учесть, что установление происходит почти по геометрической прогрессии, то нетрудно получить более надежный критерий:

Для схемы типа (13) расчет иногда оканчивают по условию малости невязки:

Комплексная организация расчета, описанная в гл. VIII, § 2, п. 5, очень полезна даже в одномерных задачах. С увеличением числа измерений ее эффективность быстро возрастает. Напомним ее.

В области строится последовательность сгущающихся вдвое сеток. На самой грубой сетке начальные условия выбираются произвольно; поскольку число узлов этой сетки невелико, то объем вычислений тоже невелик. После установления решение интерполируется на более подробной сетке и выбирается на ней в качестве начальных условий; это в несколько раз уменьшает требующееся для установления число шагов. Затем решение уточняется по способу Рунге с использованием всех сеток.